単振動の基本事項と微分方程式を用いた導出方法

2023年11月6日2024年12月20日

物体に復元力が働くとき，物体は繰り返しの運動（振動）を行います。

ここでは，最も基本的な振動現象である単振動について，運動方程式\[ m\frac{d^2 x}{dt^2}=-kx\] から，その解 \[x(t)=A \cos (\omega_0 t + \phi)\] を微分方程式を用いて導出し，基本的な性質についてまとめます。

単振動の運動方程式とその解

単振動の運動方程式を考えるにあたって，次のような系を考えます。

系の設定

1次元の滑らかな水平面上にばねの一端に物体をとりつけ，他端を固定する（ばね振り子）
ばねが自然長 $l$ の長さのときの物体の位置を原点にとる
物体の質量は $m$
ばね定数は $k \;(k>0)$
その他抵抗は考えない

このとき，物体にかかっている力は自然長から伸びた部分だけ，$x$ 軸正方向と反対の向きにばね定数との積 $kx$ 分だけ力がかかるので $F=-kx$ です。

また，加速度 $a$ が位置の２階微分，すなわち \[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^2 x}{dt^2} \] であることに注意すると運動方程式は \[m\frac{d^2 x}{dt^2}=-kx\] と書けます。ここで見やすくするために定数 $\omega_0$ を $\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ となるようにとると上の運動方程式は

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} =-\omega^2_0 x\]

となり，この微分方程式を満たす解が，単振動の変化を表す式になることがわかります。変位は時刻 $t$ の関数であるので，以降変位を $x(t)$ と表します。

微分方程式を解く

微分方程式 \[ \frac{d^2 x}{dt^2} =-\omega^2_0 x\] は定数係数２階微分方程式であるので，解くことは比較的容易です。この微分方程式の特性方程式は \[\lambda^2 +\omega_0^2 =0\] であるので，これより $\lambda = \pm \omega_0 i$ （$i$ は虚数）となり，この微分方程式は $A_1,B_1$ を定数として \[x(t)=A_1 \cos \omega_0 t + B_1 \sin \omega_0 t\] と解くことができます。これが単振動の一般解として求めることが出来ます。

また $x(t)$ を三角関数の合成式を使ってまとめると \[\begin{align} x(t) &=A_1 \cos \omega_0 t + B_1 \sin \omega_0 t \\ &= \sqrt{A_1^2+B_1^2} \cos (\omega_0 t + \phi) \\ &= A \cos (\omega_0 t + \phi) \quad (A=\sqrt{A_1^2+B_1^2}) \end{align}\] となり，これは高校物理で習う単振動の変位の式\[x(t)=A \cos (\omega_0 t + \phi)\] に一致することがわかります。尚，$\omega_0 t + \phi$ は任意の実数をとるので，実際には \[x=x(t)=A \sin (\omega_0 t + \phi)\] としても議論する上で問題ありません。ここでは $\cos$ で計算しています。

単振動の周期

いま，$\cos (\omega_0 t +\phi)$は周期 $2\pi$ の周期関数であるので，単振動は \[
\cos (\omega_0 (t+T) +\phi )=\cos (\omega_0 t +\phi +2\pi)
\] となるような $T$ が存在します。位相部分に注目すると \[
(\omega_0 (t +T)+\phi )-(\omega_0 t +\phi +2\pi)=0
\] すなわち \[
T=\frac{2\pi}{\omega_0}
\] となることから，この $T$ を単振動の周期といいます。

単振動の速度と加速度の計算

いま，時刻 $t$ における$x(t)$ が求まったのでこれを用いて単振動の速度と加速度の計算をしてみましょう。まず，速度について，時刻 $t$ における座標が $x=x(t)=A \cos (\omega_0 t + \phi)$ で表される単振動の速度は \[v(t)=\frac{dx}{dt}=-A \omega_0 \sin (\omega_0 t +\phi)\] と計算できます。また，単振動の加速度は \[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt}\right)=-A \omega_0^2 \cos (\omega_0 t+ \phi) = -\omega^2 x\] と計算することも出来ます。また，これから元の単振動の微分方程式 \[ \frac{d^2 x}{dt^2} =-\omega^2_0 x\] の形になることもわかります。

単振動の応用例