地球からの万有引力を受けて運動する小球の運動

• 地球は点Oを中心とする質量 \(M\)，半径 \(R\) の一様な密度の球
• 自転や公転，大気の影響は考えない
• トンネルは十分に細く，地球の質量の変化は無視できる
• 万有引力定数は \(G\)
• 時刻 \(t=0\) において質量 \(m\) の小球を \(x=R\) の地点から落とす
• 時刻 \(t\) における小球の位置を \(x=x(t)\)，速度を \(v(t)\) とする

【系の設定】のもとで以下の問に答えなさい。

(1) 小球が中心 O を通過するときの速度 \(v_0\) を次の２通りの方法で求めなさい。

① 単振動の力学的エネルギー保存則を使う方法
② 上で求めた \(x(t)\) から直接求める方法

(2) 実際に地球内部にトンネルを作り，小球を落とした場合，地球の裏側に到達するにはどの程度時間が必要か計算しなさい。ただし計算にあたっては

• 万有引力定数の大きさは 6.7 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2
• 地球の質量は 6.0×10²⁴ kg
• 地球の半径は 6.4×10⁶ m

とすること。　

(1) ① 単振動の力学的エネルギー保存則を使うと \[ \frac{1}{2}\frac{GMm}{R^3}R^2 =\frac{1}{2}mv_0^2\] これを \(v_0\) について解くと \[ v_0= \sqrt{\frac{GM}{R}}\]

(1) ② 時刻 \(t\) における速度 \(v(t)\) は \[ v(t)=\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{GM}{R}} \sin \left(\sqrt{\frac{GM}{R^3}} t \right)\] 小球が点Oに達する時刻は \(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \) であるので，求める速度は \[\begin{align} v \left(\frac{T}{4} \right) &=-\sqrt{\frac{GM}{R}} \sin \left(\sqrt{\frac{GM}{R^3}} \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \right) \\ &= -\sqrt{\frac{GM}{R}} \end{align}\] これは①の結果と一致する。

(2) トンネルの入口から出口までかかる所要時間は周期の1/2なので \[ \frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \simeq 2.5 \times 10^3 \text{s}\]