高校生でもわかるシュレディンガー方程式の導出と存在確率の求め方

この記事では，シュレディンガー方程式 \[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+V(x) \psi (x)=E \psi (x)\] の導出方法と粒子の確率の求め方について，主に

にわかっていただけるように，現役物理学科生がわかりやすく説明します。

この記事では特に「量子力学のさわりの部分」を知ってもらうことを目的としています。ゆえに時として雑な表現が多くなりますがご容赦ください。

シュレディンガー方程式の導出方法

シュレディンガーの方程式はおおまかに次の3つのプロセスにわけて導くことが出来ます。

3つのプロセス

それぞれのプロセスについて考えてみましょう。

粒子の持つ波の性質（ド・ブロイ波の理解）

シュレディンガー方程式を導くにあたって，まずは高校物理の原子物理学の復習からはじめましょう。高校物理では，光電効果やコンプトン効果の実験結果を通して

光（＝波）は粒子と波の二重性の性質を示す

ということを学びました。そしてこのことから逆に，ド・ブロイは

粒子もまた波の性質を持つのではないか？

と考え，粒子を波として扱うときの関係は次の式で表すことが出来ることを発見しました。

この式が示すところとして「運動量 \(p\) を持つ粒子は波長 \(\lambda\) を持つ物質波として扱うことが出来る」ということがあります。

また後述しますが，量子力学において粒子の存在は常に確率で表され，この確率を表す関数はこのド・ブロイ波の波動関数によって表されます。

そして，この式と次で扱う「波動方程式」の関係を調べると原子や粒子の従うべき方程式（＝これがシュレディンガー方程式と呼ばれるもの）を示すことが出来ます。

波動方程式の導出

今まで習ってきた運動方程式というもの

再び復習ではありますが，私達は高校物理や大学物理学の力学で運動方程式

\[m\frac{d^2 x}{dt^2}=F\]

を用いて様々な物体の運動を決定してきました。

この運動方程式とは言い方を変えると「物体の運動が従うべき方程式」であり，それはすなわち，運動方程式を解けばその対象の物体の運動を説明することが出来る，ということでもあります。

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他の現象も簡単な式で表すことが出来るのか？

ここまでは「物体」の従う関係について考えてきましたが，現象を式で表す，という行為は物体以外のものにも拡張することが出来ます。

その一例としてここでは高校物理で習った「波」と呼ばれる現象がどういう式で説明することが出来るのか，ということを考えてみましょう。

何故この式によって波の現象が説明されるのか（すなわち，どのようにして導かれるのか）についてはまた別の機会で改めて取り上げますが，ここでは端的に答えだけ示してしまうと，特に1次元の系において波の運動は次の方程式によって説明されます。

波動方程式自体は一般に「変数分離法」と呼ばれる有名な方法で解くことが出来ますが，具体的な解き方の話は長くなるので以下の記事に託したいと思います。

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波動方程式とド・ブロイ波の関係

準備を半ば強引に整えたところで，実際に物質波の従う波動方程式を考えてみましょう。先程の波動方程式は移項すると次のように書くことが出来ます。

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0\]

また，波動方程式は適当な境界条件を与えると，その解は時間に依存する関数と位置に依存する関数の積

\[u_n (x,t)=A_n \cos (\omega_n t +\phi_n) \psi (x) \quad (n=1,2,\cdots)\]

の形で解くことが出来ます。

簡単のために \(A_n=1, \; \phi_n=0\) とし，添字 \(n\) を省略すると

\[u(x,t)=\psi (x) \cos \omega t\]

と書くことが出来ます。これを波動方程式に代入すると \[\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2} \cos \omega t+\frac{\omega^2}{v^2} \psi (x) \cos \omega t=0\] となり，\(\cos \omega t\) は常に0ではないので，これが成り立つためには

\[\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+\frac{\omega^2}{v^2} \psi (x) =0\]

が成り立たたなくてはなりません。ここで，波の速度は振動数 \(\nu\) を用いて \(v=\nu \lambda\) であること，および \(\omega =2\pi \nu\) であることから

\[\frac{\omega^2}{v^2}=\frac{4 \pi^2 \nu^2}{v^2}=\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\]

これより上の式は

\[\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+\frac{4\pi^2}{\lambda^2} \psi (x) =0\]

と出来ます。ここで \(\lambda\) が出てきたので，この式と先程紹介したド・ブロイ波の関係 \(p=h/\lambda\) を関連付けることが出来ればゴール一歩手前でしょう。

これは素直に代入したいところですが，後のことを考えてここでは粒子のエネルギー \(E\) とポテンシャルエネルギー \(V(x)\) とも関連付けて計算を進めます。

粒子のエネルギー \(E\) は運動エネルギーを運動量で表した \(p^2/2m\) とポテンシャル \(V(x)\) の和，すなわち

\[E=\frac{p^2}{2m}+V(x)\]

によって表すことが出来ます。これを \(p\) について解くと

\[p=\sqrt{2m(E-V(x))}\]

これより \(p\) とその他のエネルギーの関係を得ることが出来たので，これをド・ブロイ波の式に代入して \(\lambda\) について解くと

\[\lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V(x))}}\]

この \(\lambda\) を上の式に代入することにより

\[\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+\frac{4\pi^2}{h^2}2m(E-V(x)) \psi (x) =0\]

ここで，\(\hbar\) を新たに \(\displaystyle \hbar=\frac{h}{2\pi}\) で置き直します。

すると

\[\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x)) \psi (x) =0\]

すなわち

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}+V(x) \psi (x)=E \psi (x)\]

となり，質量 \(m\) の粒子の1次元運動に対するシュレディンガー方程式を導くことが出来ました。

言い方を変えるとシュレディンガー方程式とは「ド・ブロイ波に関する波動方程式」あるいは「粒子の波動関数に関する波動方程式」であり，様々な設定のシュレディンガー方程式を解くことによって，ド・ブロイ波の波動関数 \(\psi (x)\) を求める，ということが基本の量子力学の流れとなります。

確率密度の求め方

シュレディンガー方程式を導出することが出来たので，この方程式から \(\psi (x)\) を解いて粒子の確率を求める手筋を最後に簡単に紹介します。

量子力学においては，与えられたポテンシャル \(V(x)\) と境界条件によって求めた \(\psi (x)\) を使って，粒子の存在確率を以下で与えられる式を用いて求めます。

ここで，定義内に粒子が存在する確率は1であるのでこれを全区間で積分したときに

\[\int_{-\infty}^{\infty}\psi (x)\psi^* (x)dx=1\]

が満たされていなくてはなりません。これを規格化条件といいます。こうして規格化された \(\psi (x)\psi^* (x)\) は微小区間の粒子の存在確率を与えるので

\[\rho (x)=|\psi (x)|^2=\psi (x)\psi^* (x)\]

とし，この \(\rho (x)\) を確率密度関数と呼び，この関数から粒子の存在確率を知ることが出来ます。

まとめ

以上をまとめますと

という操作によって簡単にではありますが量子力学の基本操作を理解することが出来ます。長くなりましたが最後まで読んでいただきありがとうございました。

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