減衰振動を微分方程式で解く方法をわかりやすく紹介

振動現象の１つである減衰振動について，運動方程式 \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-bv\] とその解法についてまとめます。

あわせて読みたい

単振動の基本事項と微分方程式を用いた導出方法 最も基本的な振動現象である単振動について，微分方程式を用いた導出方法を紹介します。

減衰振動の運動方程式

減衰振動として次の系を考えます。

このとき，運動方程式は空気抵抗とばねの張力を足し合わせて \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-bv\] となります。

運動方程式を解く

運動方程式を解いてみましょう。

速度は位置の時間微分で与えられる，すなわち \(\displaystyle v = \frac{dx}{dt}\) であるので運動方程式に代入すると \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}\] となります。ここで少し整理をしましょう。\(\displaystyle \gamma=\frac{b}{2m}\)，固有角振動数 \(\displaystyle \omega_0= \sqrt{\frac{k}{m}}\) とおいて移項すると \[\frac{d^2x}{dt^2}+2 \gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x=0\] となり，これは定数係数２階微分方程式になるので，特性方程式 \[\lambda^2+2\gamma \lambda+\omega_0^2=0\] の解が

の３つの場合にわけて考えることが出来ます。

① 実数解を２つ持つとき（\(\gamma^2-\omega_0^2>0\)）

特性方程式は２つの解 \[\lambda=-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\] を持つので，微分方程式の解は \[x(t)=c_1 e^{-(\gamma – \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}+c_2e^{-(\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}\] となります（\(c_1,c_2\) は定数）。

このときのグラフを図示すると次のようになります。

これより，空気抵抗の力が大きいとき，ばねの振動はそのまま止まってしまうことがわかります。

② 重解を持つとき（\(\gamma^2-\omega_0^2=0\)）

特性方程式は重解 \(\lambda =-\gamma\) を持つので，微分方程式の一般解は \[x(t)=(c_1+c_2t)e^{-\gamma t}\] となります。

このときのグラフを図示すると次のようになります。

これより空気抵抗とばねの張力が釣り合うとき，①と同様ばねの振動はそのまま止まってしまうことがわかります（臨界減衰といいます）。

③ 複素数の解を持つとき（\(\gamma^2-\omega_0^2<0\)）

\(\gamma^2-\omega_0^2<0\) のとき，特性方程式は複素数解 \[\lambda=-\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}i\] を持つので，微分方程式は \[x(t)=e^{-\gamma t}[c_1 \sin (\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} t) + c_2 \cos (\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} t)]\] となります。

グラフに図示すると次のようになります。

これより，物体は振動を次第に弱め，最終的に止まってしまうことがわかります。

このように，次第に振幅が小さくなりながら振動を繰り返す運動を「減衰振動」といいます。