2024名大理系数学の問題と解答・解いてみた感想まとめ

関数 \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}} \; (x>0)\) に対して，\(y=f(x)\) のグラフを \(C\) とする。

(1) \(f(x)\) の極値を求めよ。

(2) \(x\) 軸上の点 \(P(t,0)\) からちょうど２本の接線を引くことが出来るとする。そのような実数 \(t\) の値を求めよ。

(3) (2) において，\(C\) の２つの接点の \(x\) 座標を \(\alpha,\beta \; (\alpha<\beta)\) とする。\(\alpha,\beta\) がともに整数であるような組 \((\alpha,\beta)\) をすべて求めよ。

\(c\) を１より大きい実数とする。また，\(i\) を虚数単位として，\(\displaystyle \alpha = \frac{1-i}{\sqrt{2}}\) とおく。複素数 \(z\) に対して， \[\begin{align} &P(z)=z^3-3z^2+(c+2)z-c,\\ &Q(z)=-\alpha^7 z^3 + 3 \alpha^6 z^2 +(c+2)\alpha z -c \end{align}\] と定める。

(1) 方程式 \(P(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) をすべて求め，それらを複素数平面上に図示せよ。

(2) 方程式 \(Q(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) のうち実部が最大のものを求めよ。

(3) 複素数 \(z\) についての２つの方程式 \(P(z)=0,Q(z)=0\) が共通解 \(\beta\) を持つとする。そのときの \(c\) の値と \(\beta\) を求めよ。

座標空間の３点 \(\mathrm{A}(3,1,3)\)，\(\mathrm{B}(4,2,2)\)，\(\mathrm{C}(4,0,1)\) の定める平面を \(H\) とする。また，\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}} +t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\] （\(s,t\) は非負の実数）を満たすすべての点 \(\mathrm{P}\) からなる領域を \(K\) とする。

(1) 内積 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を求めよ。

(2) 原点 \(\mathrm{O}(0,0,0)\) から平面 \(H\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{Q}\) とする。\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) で表せ。

(3) 領域 \(K\) 上の点 \(\mathrm{P}\) に対して，線分 \(\mathrm{QP}\) 上の点で \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)（\(r\) は非負の実数）を満たす点 \(\mathrm{R}\) が存在することを示せ。

(4) 領域 \(K\) において原点 \(\mathrm{O}\) からの距離が最小となる点 \(\mathrm{S}\) の座標を求めよ。

袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を \(p\) （\(0 \leq p \leq 1\)）とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を \(n\) 回行うとき，赤玉を \(k\) 回以上取り出す確率を \(f(k)\) とおく。

(1) \(n \geq 2\) に対して，\(f(1)\) と \(f(2)\) を求めよ。

(2) \(k=1,2,\cdots \cdots ,n\) に対して，等式 \[f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \int_{0}^{p} x^{k-1}(1-x)^{n-k}dx\] を示せ。

(3) 自然数 \(k\) に対して，定積分 \[I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^k (1-x)^kdx\] を求めよ。