積分系における電場と電位の関係をまとめました。
前回の記事はこちらから
積分形の関係（電位差）
まず，簡単のために1次元で仕事エネルギー変化を考えます。
力 $\boldsymbol{F}$ と位置エネルギー $U$ の関係 $$F = -\frac{dU}{dx}$$ を積分すると，$$\int_A^B F dx = -[U]_A^B = U_A -U_B$$ となります。 これは，力 $\boldsymbol{F}$ が点Aから点Bまでにする仕事 $W_{A \to B}$ が，位置エネルギーの減少分 $U_A -U_B$ に等しいことを意味します。
これを3次元の電場 $\boldsymbol{E}$ と電位 $V$ で書き直します。いま，$\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}$，$U = qV$ なので，$$ W_{A \to B} = \int_A^B \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_A^B (q \boldsymbol{E}) \cdot d\boldsymbol{l} $$ $$ U_A -U_B = q V_A -q V_B = -q (V_B -V_A) $$ よって，$$ \int_A^B (q \boldsymbol{E}) \cdot d\boldsymbol{l} = -q (V_B -V_A) $$ $q$ で両辺を割ると，電場 $\boldsymbol{E}$ と電位差の関係が得られます。$$ V_B -V_A = -\int_A^B \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} $$ これは，「電場 $\boldsymbol{E}$ をAからBまで線積分すると，BとAの電位差（のマイナス）になる」ことを意味します。
通常，電位の基準点 $P_0$ を無限遠にとり，$V(\infty) = 0$ と定めます。
すると，ある点 $P$ の電位 $V(P)$ は，$$ V(P) = V(P) -V(\infty) = -\int_{\infty}^P \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} $$ と定義されます。
微分系との関係（勾配）
$\boldsymbol{F} = -\nabla U$ と $U = qV$, $\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}$ の関係を使うと，$$ q \boldsymbol{E} = -\nabla (q V) = -q (\nabla V) $$ 両辺を $q$ で割ると，$$ \boldsymbol{E} = -\nabla V \quad \text{or} \quad \boldsymbol{E} = -\mathrm{grad} \, V $$ が導かれます。
これは，「電場 $\boldsymbol{E}$ は，電位 $V$ の勾配（gradient）のマイナスに等しい」ことを意味します。
勾配 (grad) は，スカラー場 $V(x, y, z)$ からベクトル場 $\boldsymbol{E}$ を作る操作です。$$ \boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z) = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right) $$ 電位 $V$ がわかれば，偏微分するだけで電場 $\boldsymbol{E}$ を計算できる，非常に便利な関係式です。
例題
ある領域の電位 $V$ が，$V(x, y, z) = -C(x^2 + y^2 -2z^2)$ で与えられている（$C$ は正の定数）。
この領域における電場 $\boldsymbol{E}(x, y, z)$ を求めよ。
あんとら電位 $V$ から電場 $\boldsymbol{E}$ を求めるには，微分形の関係式 $$\boldsymbol{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right)$$ を使います。
各成分について，$V$ をその変数で偏微分（他の変数は定数とみなして微分）します。
【解答】
電位 $V(x, y, z) = -C(x^2 + y^2 – 2z^2)$ について，電場 $\boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z)$ の各成分を計算する。
$x$ 成分：$y, z$ を定数とみなすと $$\begin{align} E_x &= -\frac{\partial V}{\partial x} \\
&= -\frac{\partial}{\partial x} \left( -C(x^2 + y^2 -2z^2) \right) \\
& = -(-C) \times (2x) \\
&= 2Cx \end{align}$$
$y$ 成分：$x, z$ を定数とみなすと $$\begin{align} E_y &= -\frac{\partial V}{\partial y} \\
&= -\frac{\partial}{\partial y} \left( -C(x^2 + y^2 -2z^2) \right) \\
&= -(-C) \times (2y) \\
&= 2Cy \end{align}$$
$z$ 成分：$x, y$ を定数とみなすと $$\begin{align} E_z &= -\frac{\partial V}{\partial z} \\
&= -\frac{\partial}{\partial z} \left( -C(x^2 + y^2 -2z^2) \right) \\
& = -(-C) \times (-4z) \\
&= -4Cz \end{align}$$ よって，求める電場 $\boldsymbol{E}$ は，$$ \boldsymbol{E}(x, y, z) = (2Cx, 2Cy, -4Cz) $$ である。
一様な電場 $\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{i}$ ($E_0 > 0$) が存在する空間において，原点 $O$ で $V=0$ となるように基準をとった場合の，任意の点 $\boldsymbol{r} = (x, y, z)$ における電位 $V(x, y, z)$ を求めよ。
あんとら微分系との関係を用いて積分を各成分ごとに行います。$x$ 成分について積分したら不定の関数 $f(y,z)$ が出てくることに注意します。
【解答】
一様な電場 \[
\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{i} = (E_0, 0, 0)\qquad (E_0>0)
\] が存在しているとする。電場と電位の関係は \[
\boldsymbol{E} = -\nabla V
\] であるから，各成分について \[
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\qquad
E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\qquad
E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}
\] が成り立つ。今回の電場では \[
E_x = E_0,\qquad E_y = 0,\qquad E_z = 0
\] なので，\[\begin{align}
-\frac{\partial V}{\partial x} &= E_0,\\
-\frac{\partial V}{\partial y} &= 0,\\
-\frac{\partial V}{\partial z} &= 0
\end{align}\] となる。これを積分すると，\[\begin{align}
\frac{\partial V}{\partial x} &= -E_0
\quad\Rightarrow\quad
V(x,y,z) = -E_0 x + f(y,z),\\
\frac{\partial V}{\partial y} &= 0
\quad\Rightarrow\quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 0,\\
\frac{\partial V}{\partial z} &= 0
\quad\Rightarrow\quad
\frac{\partial f}{\partial z} = 0
\end{align}
\]となる。したがって $f(y,z)$ は定数 $C$ でなければならないことから \[
V(x,y,z) = -E_0 x + C
\]
コメント