2024年度名大数学第２問の問題と解答・解説

\(c\) を１より大きい実数とする。また，\(i\) を虚数単位として，\(\displaystyle \alpha = \frac{1-i}{\sqrt{2}}\) とおく。複素数 \(z\) に対して， \[\begin{align} &P(z)=z^3-3z^2+(c+2)z-c,\\ &Q(z)=-\alpha^7 z^3 + 3 \alpha^6 z^2 +(c+2)\alpha z -c \end{align}\] と定める。

(1) 方程式 \(P(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) をすべて求め，それらを複素数平面上に図示せよ。

(2) 方程式 \(Q(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) のうち実部が最大のものを求めよ。

(3) 複素数 \(z\) についての２つの方程式 \(P(z)=0,Q(z)=0\) が共通解 \(\beta\) を持つとする。そのときの \(c\) の値と \(\beta\) を求めよ。

(1) 方程式 \(P(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) をすべて求め，それらを複素数平面上に図示せよ。

\[P(z)=(z-1)(z^2-2z+c)\] であるので，\(c>1\) に注意して解を求めると \[z=1,1 \pm \sqrt{c-1}i\] これを図示すると次の通り。

(2) 方程式 \(Q(z)=0\) を満たす複素数 \(z\) のうち実部が最大のものを求めよ。

\[\alpha = \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) +i \sin \left(-\frac{\pi}{4} \right)\] であり，ド・モアブルの定理より \(\alpha^4=-1\) が成り立つ。従って \[\begin{align}Q(z) &=-\alpha^7 z^3 + 3 \alpha^6 z^2 +(c+2)\alpha z -c \\ &=\alpha^3 z^3 – 3 \alpha^2 z^2 +(c+2)\alpha z -c \end{align}\] これより \(Q(z)=0\) を解くと \[(\alpha z-1)(\alpha^2 z^2-2\alpha z+c)=0\] よって \[z=\alpha^{-1}, (1 \pm \sqrt{c-1})\alpha^{-1}\] これより \(Q(z)=0\) の解は \(P(z)=0\) の解を反時計回りに \(\pi/4\) 回転させたものであることがわかる。

このうち実部が最大のものは \((1 -\sqrt{c-1})\alpha^{-1}\) であるので計算すると \[\begin{align} &(1 -\sqrt{c-1})\alpha^{-1} =(1 -\sqrt{c-1})\frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ &=\frac{1 +\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} +\frac{1 -\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i \end{align}\]

(3) 複素数 \(z\) についての２つの方程式 \(P(z)=0,Q(z)=0\) が共通解 \(\beta\) を持つとする。そのときの \(c\) の値と \(\beta\) を求めよ。

方程式 \(P(z)=0,Q(z)=0\) が共通解 \(\beta\) を持つとき，複素数平面上で解は次のようになる。

これと (2) より，実部を比較すると \[\frac{1 +\sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} =1\] これより \(c\) について解くと \[c=4-2\sqrt{2}\] また，共通解 \(\beta\) は \(c=4-2\sqrt{2}\) を代入して \[\beta =1+(\sqrt{2}-1)i\] である。