2024年度名古屋大学理系数学第３問の問題と解答・解説を紹介します。
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問題
座標空間の３点 \(\mathrm{A}(3,1,3)\)，\(\mathrm{B}(4,2,2)\)，\(\mathrm{C}(4,0,1)\) の定める平面を \(H\) とする。また，\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}} +t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\] （\(s,t\) は非負の実数）を満たすすべての点 \(\mathrm{P}\) からなる領域を \(K\) とする。
(1) 内積 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を求めよ。
(2) 原点 \(\mathrm{O}(0,0,0)\) から平面 \(H\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{Q}\) とする。\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) で表せ。
(3) 領域 \(K\) 上の点 \(\mathrm{P}\) に対して，線分 \(\mathrm{QP}\) 上の点で \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)（\(r\) は非負の実数）を満たす点 \(\mathrm{R}\) が存在することを示せ。
(4) 領域 \(K\) において原点 \(\mathrm{O}\) からの距離が最小となる点 \(\mathrm{S}\) の座標を求めよ。
(1) の解答・解説
(1) 内積 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を求めよ。
内積の計算問題です。
迷うところはなく，サクッと答えを合わせにいきたいです。
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,-1)\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,-1,-2)\) であるので \[\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 =3\] \[\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 =6\] \[\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\]
(2) の解答・解説
(2) 原点 \(\mathrm{O}(0,0,0)\) から平面 \(H\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{Q}\) とする。\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) で表せ。
空間上における垂線の位置ベクトルを \(K\) のベクトルの１次結合で表す問題です。
各々の点の位置関係は簡単な図で次のように描くことができます。
あんとらこの手の問題では図を \(xyz\) 直交座標で描くおいしさはあまり無いので，位置関係だけ抑えた図でまとめると無難です
このとき \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) は \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) の１次結合で表すことが出来るので \[\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}\] とおくことができます。
また，図から \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \; (=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}})\) は \(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) と垂直なので内積が０になることを使ってあげれば求めることができます。
\[\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}\] とおく。このとき \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) より \[\overrightarrow{\mathrm{OQ}}= \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}\]
図より \(\mathrm{OQ}\) と \(\mathrm{AB},\mathrm{AC}\) はそれぞれ垂直なので \[\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} =(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\] である。(1) の結果を用いて計算すると \[\cases{1+3\alpha +2 \beta =0 \\-4+2 \alpha +6 \beta =0 }\] これより \[(\alpha,\beta)=(-1,1)\] よって \[\overrightarrow{\mathrm{AQ}}= -\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}\]
(3) の解答・解説
(3) 領域 \(K\) 上の点 \(\mathrm{P}\) に対して，線分 \(\mathrm{QP}\) 上の点で \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)（\(r\) は非負の実数）を満たす点 \(\mathrm{R}\) が存在することを示せ。
存在を示す問題です。このような問題は
・図を描いて幾何的に示す
・係数を計算して代数的に \(r\) の値を求める
という２つの方針が立てられます。
本問では (2) の結果からABCQが平行四辺形になる，という位置関係を元に \(\mathrm{R}\) の位置を示します。
(2) より四角形ABCQは平行四辺形である。\(\mathrm{P}\) は \(K\) の内部，\(\mathrm{Q}\) は \(K\) の外部にあり，これらの位置関係を図示すると次の通り。
これより，\(K\) の任意の点 \(\mathrm{P}\) に対し，\(\mathrm{PQ}\) と \(\mathrm{AC}\) は必ず交点を持つ。これを \(R\) とすれば３点 \(\mathrm{A},\mathrm{Q},\mathrm{C}\) が一直線上に並ぶ，すなわち \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)（\(r\) は非負の実数）を満たす点 \(\mathrm{R}\) が存在することがわかる。よって題意は示された。
(4) の解答・解説
(4) 領域 \(K\) において原点 \(\mathrm{O}\) からの距離が最小となる点 \(\mathrm{S}\) の座標を求めよ。
改めて図を描くと次のようになります。
三平方の定理より \[\mathrm{OP}=\sqrt{\mathrm{OQ}^2+\mathrm{QP}^2}\] であり，\(\mathrm{OQ}\) の長さは変わらない（定数）なので，考えるべきは \(\mathrm{QP}\) の長さの大小だけにすることが出来ます。
(3) の誘導を汲むと，\(\mathrm{P}\) は \(\mathrm{AC}\) 上の点 \(\mathrm{R}\) であれば良いですね。
このとき \(\mathrm{R}\) をいろいろ動かすと，\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) の正射影を取れば \(\mathrm{S}\) が求めることが出来ます。
三平方の定理より \[\mathrm{OP}=\sqrt{\mathrm{OQ}^2+\mathrm{QP}^2}\] であり，\(\mathrm{OQ}\) の長さは変わらないので，\(\mathrm{QP}\) の長さを考える。
図より，\(\mathrm{QP}\) が最小となるのは，\(\mathrm{QP} \bot \mathrm{AC}\) となるときである。このときの \(\mathrm{P}\) が \(\mathrm{S}\) であり \(\overrightarrow{\mathrm{AS}}\) は \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) の正射影である。これより (1) (2) の結果を用いて \[\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AS}}
&=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}}{\overrightarrow{\mathrm{AC}}} \cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|} \\
&= \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot (-\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}) }{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
&=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{align}\] 以上より \[\begin{align} &\overrightarrow{\mathrm{OS}} =\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AS}} \\ &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) +\frac{2}{3} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{3}\left( \begin{array}{c} 11 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right)\end{align}\] よって\(\mathrm{S}\) の座標は \(\displaystyle \left(\frac{11}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3} \right)\) である。
あんとら・最小となるときの具体的な長さを聞くのではなく，座標だけを問う
・具体的な \(r\) の値を聞くのではなく，存在だけを示させる
あたりから，誘導の流れを汲めると良いと思いました
解いてみた感想
2019年以来となる空間ベクトルに関する問題でした。
(2) までは教科書にも載っているような標準的な問題であるのできっちり取りきりたいですが (3) (4) は高度なベクトルの扱いと空間認識能力が求められ，正答率はそこまで高くないでしょう。
難易度としては標準～やや難です。
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