2024年度名大理系数学第１問の問題と解答・解説

関数 \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}} \; (x>0)\) に対して，\(y=f(x)\) のグラフを \(C\) とする。

(1) \(f(x)\) の極値を求めよ。

(2) \(x\) 軸上の点 \(\mathrm{P}(t,0)\) からちょうど２本の接線を引くことが出来るとする。そのような実数 \(t\) の値を求めよ。

(3) (2) において，\(C\) の２つの接点の \(x\) 座標を \(\alpha,\beta \; (\alpha<\beta)\) とする。\(\alpha,\beta\) がともに整数であるような組 \((\alpha,\beta)\) をすべて求めよ。

(1) \(f(x)\) の極値を求めよ。

\[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{x-2}{x\sqrt{x}}\] であり，\(f(x)\) の増減を調べると次の通り。\[\begin{array}{c|cccc} \hline x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & & – & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 2\sqrt{2} & \nearrow \\ \hline \end{array}\] これより \(f(x)\) は \(x=2\) で極小値 \(2\sqrt{2}\) をとる。また，極大値はない。

(2) \(x\) 軸上の点 \(P(t,0)\) からちょうど２本の接線を引くことが出来るとする。そのような実数 \(t\) の値を求めよ。

\(C\) の \(x=u \; (u>0)\) における接線の方程式は \[\begin{align} &y =\frac{u-2}{2u \sqrt{u}}(x-u)+\sqrt{u}+\frac{2}{\sqrt{u}} \\ &y=\frac{u-2}{2u\sqrt{u}}x+\frac{u+6}{2\sqrt{u}}\end{align} \] これが \(P(t,0)\) を通るとき \[0=\frac{u-2}{2u\sqrt{u}}t+\frac{u+6}{2\sqrt{u}}\] よって \[u^2 +(t+6)u-2t=0 \quad \cdots [1]\] \(P(t,0)\) から引ける接線の本数は [1] の解の個数に一致する。従って，ちょうど２本の接線が引ける \(t\) の範囲は，[1] が \(t>0\) で異なる２実数解を持つ範囲に等しい。よって\[ \begin{align} g(u) &=u^2 +(t+6)u-2t \\ &= \left(u+\frac{t+6}{2} \right)^2 -\frac{t^2+20t+36}{4}\end{align}\] とすると，求める範囲は \[\cases{\displaystyle -\frac{t+2}{2}>0 \\ \displaystyle g \left(-\frac{t+6}{2} \right) = -\frac{t^2+20t+36}{4}<0 \\ g(0)=-2t>0}\] すなわち \[\cases{t<-6 \\ t<-18, \; -2<t \\ t<0}\] 以上より，求める \(t\) の範囲は \[t<-18\] である。

(3) (2) において，\(C\) の２つの接点の \(x\) 座標を \(\alpha,\beta \; (\alpha<\beta)\) とする。\(\alpha,\beta\) がともに整数であるような組 \((\alpha,\beta)\) をすべて求めよ。

[1] の２解が \(\alpha,\beta\) であるので，解と係数の関係より \[\begin{align} \alpha + \beta &= -(t+6) \\ \alpha \beta &= -2t \end{align}\] これより \(t\) を消去して整理すると \[(\alpha -2)(\beta -2)=16\] ここで \(1 \leq \alpha<\beta\) より \(-1 \leq \alpha -2<\beta -2\) であることに注意して \[(\alpha -2,\beta -2)=(1,16),(2,8)\] よって \[(\alpha ,\beta )=(3,18),(4,10)\]