n 次元空間における球とその体積の求め方【統計力学の準備】

2023年11月5日2024年12月17日

この記事では $n$ 次元空間における球 \[q_1^2+q_2^2+ \cdots +q_n^2 = R^2\] と $n$ 次元球の体積の導出について紹介します。

この記事でわかること

球の式を $n$ 次元に拡張する考え方
$n$ 次元球の体積の求め方

$n$ 次元空間における半径 $R$ の球

円の方程式，というときに高校数学までは円の方程式 $x^2+y^2=R^2$ や球の方程式 $ x^2+y^2+z^2=R^2$ を使い，数学的に式で表してきました（$R$ は半径）。ここで，これを一般化座標 $q_1,q_2,\cdots$ を用いて $n$ 次元に拡張した

\[q_1^2+q_2^2+ \cdots +q_n^2 = R^2\]

は $n$ 次元球といい¹，統計力学の計算で使われます。以下ではこの $n$ 次元球の体積について考えてみましょう。

$n$ 次元球の体積

$n$ 次元空間における球の体積 $V_n (R)$ は \[ V_n(R) =\int_{ \sqrt{ q_1^2+q_2^2+ \cdots q_n^2 } \leq R} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \] によって定義され，結論から先に紹介するとこの体積は

\[V_n (R) =\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})} R^n\]

で与えられます。ここで，$\displaystyle \Gamma \left(\frac{n}{2} \right) $ はガンマ関数を表します。

$n=2,3$ における $n$ 次元球の体積

試しにこの式に $n=2,3$ を代入してみましょう。

【$n=2$ のとき】
ガンマ関数の性質より $\Gamma (1)=1$ であることに注意すると
\[ V_2 (R) =\frac{2\pi ^\frac{2}{2}}{2 \Gamma (\frac{2}{2})} R^2 = \pi R^2\] となり $q_1 q_2$ 平面における半径 $R$ の円の面積に一致することがわかります。

【$n=3$ のとき】
ガンマ関数の性質より \[ \Gamma \left(\frac{1}{2}+1 \right)=\Gamma \left(\frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}\] であることを用いると\[ V_3 (R) =\frac{2\pi ^\frac{3}{2}}{3 \Gamma (\frac{3}{2})} R^3 =\frac{4}{3} \pi R^3 \] となり $q_1 q_2 q_3$ 空間における半径 $R$ の球の体積と一致することがわかります。

これより $V_n(R)$ の式は具体的な $n$ を計算しても私達が知っている式と一致することがわかります。

$n$ 次元球の体積の導出

$n$ 次元球の体積の導出をします。導出においては非常に天下り的ですが \[ J_n＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \] という積分を２通りの方法で計算して求めます。また，計算する際には

$q_1,q_2,\cdots ,q_n$ は互いに独立であること
体積を位置変数 $r$ で微分すると表面積となること

に着目して計算します。

STEP1：ガウス積分を用いて J_n を計算する（１通り目）

まず \[ J_n＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \] について$q_1,q_2, \cdots ,q_n$ は互いに独立であるので，\[ J_n＝ \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-q^2_1} dq_1 \right)^n ＝\pi^{\frac{n}{2}} \] とまとめます。ここで，ガウス積分の公式 \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\] を用いました。

STEP2：球の面積と表面積の関係を調べる

次に，一度 $J_n$ から離れて球の面積と表面積の関係を調べましょう。半径 $r$ の $n$ 次元球の体積を $V_n (r)$ とすると，$V_n (r)$ は $r^n$ に比例するので$A_n$ を比例定数として $V_n (r)=A_n r^n$ とおけます。

また，$n$ 次元球の表面積 $S_n$ は $V_n$ を $r$ で微分すると得られます。これより，面積と表面積の関係式 \[ S_n (r) =\frac{dV_n (r)}{dr} =nA_n r^{n-1}\] を得ます。

STEP3：STEP2の関係から J_n を計算する（２通り目）

次に$S_n (r) = nA_n r^{n-1}$ に微小な厚さ $dr$ をかけた微小な球体積 $nA_n r^{n-1}dr$ は $J_n$ の$n$ 次元球の体積要素 $dq_1 dq_2 \cdots dq_n$ に等しいことを用いて $J_n$ の積分変数を $r$ に置換します。これは \[nA_n r^{n-1}dr=dq_1 dq_2 \cdots dq_n\] ということです。また，置換する際は積分範囲についても考えましょう。$J_n$ の積分範囲は \[q_i:-\infty \to \infty \; (i=1,2,\cdots) \] であった（＝一般化座標について全範囲を積分する）ので，これから，半径 $r$ の積分範囲についても \[r:0 \to \infty\] です。

また，半径 $r$ の $n$ 次元球の式は \[q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n = r^2　(0<r \leq R)\] と表せたので，これより $J_n$ は \[\begin{align} J_n &＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \\ &= \int_0^{\infty}e^{-r^2} n A_n r^{n-1} dr \\ &= n A_n \int_0^{\infty}e^{-t} t^{\frac{n-1}{2}} \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}} dt \quad (t=r^2) \\ &= \frac{nA_n}{2} \Gamma \left(\frac{n}{2} \right) \end{align}\] と計算出来ることがわかります。

STEP4：STEP1，STEP3の結果を用いて V_n を求める

STEP1，STEP3の結果より\[ A_n \frac{nA_n}{2} \Gamma \left(\frac{n}{2} \right)=\pi^{\frac{n}{2}} \] であるので $A_n$ について解くと \[A_n=\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})}\] を得ます。STEP2より，$V_n(R)=A_n R^n$ であるので代入して

\[ V_n (R) =\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})} R^n\]

となり，$n$ 次元の球の体積を求めることが出来ます。

$n$ 次元の球の使用例