n 次元空間における球の体積の求め方をわかりやすく

この記事では \(n\) 次元空間における球 \[q_1^2+q_2^2+ \cdots +q_n^2 = R^2\] と \(n\) 次元球の体積の導出について紹介します。

\(n\) 次元空間における半径 \(R\) の球

円の方程式，というときに高校数学までは円の方程式 \[x^2+y^2=R^2\] や球の方程式 \[x^2+y^2+z^2=R^2\] を使い，数学的に式で表してきました（\(R\) は半径）。ここでは，この球を \(n\) 次元に拡張したものを考えます。

位置の変数として使っていた文字 \(x,y,z,\cdots\) を \(q_1,q_2,q_3,\cdots\) と改めて置き直すと，２次元の球（円）は \[q_1^2+q_2^2 = R^2\] と書けるし，３次元の球は \[q_1^2+q_2^2 +q_3^2 = R^2\] と書けますね。

これを一般化すると \(n\) 次元における球の式は一般に

\[q_1^2+q_2^2+ \cdots +q_n^2 = R^2\]

となり，これが \(n\) 次元の球の定義式になります。¹

この \(n\) 次元の球は定性的なイメージをすることは難しいですが，今後の物理（主に統計力学）上において重要な役割を果たします。

\(n\) 次元球の体積

\(n\) 次元空間における球の体積 \(V_n (R)\) は \[ V_n(R) =\int_{ \sqrt{ q_1^2+q_2^2+ \cdots q_n^2 } \leq R} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \] によって定義され，結論から先に紹介するとこの体積は

\[V_n (R) =\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})} R^n\]

で与えられます。ここで，\(\displaystyle \Gamma \left(\frac{n}{2} \right) \) はガンマ関数を表します。

\(n=2,3\) における \(n\) 次元球の体積

試しにこの式に \(n=2,3\) を代入してみましょう。

【\(n=2\) のとき】
ガンマ関数の性質より \(\Gamma (1)=1\) であることに注意すると
\[ V_2 (R) =\frac{2\pi ^\frac{2}{2}}{2 \Gamma (\frac{2}{2})} R^2 = \pi R^2\] となり \(q_1 q_2\) 平面における半径 \(R\) の円の面積に一致することがわかります。

【\(n=3\) のとき】
ガンマ関数の性質より \[ \Gamma \left(\frac{1}{2}+1 \right)=\Gamma \left(\frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}\] であることを用いると\[ V_3 (R) =\frac{2\pi ^\frac{3}{2}}{3 \Gamma (\frac{3}{2})} R^3 =\frac{4}{3} \pi R^3 \] となり \(q_1 q_2 q_3\) 空間における半径 \(R\) の球の体積と一致することがわかります。

これより \(V_n(R)\) の式は具体的な \(n\) を計算しても私達が知っている式と一致することがわかります。

\(n\) 次元球の体積の導出

\(n\) 次元球の概念がわかったところで，この \(n\) 次元球の体積の導出をしてみましょう。導出においては非常に天下り的ですが

\[ J_n＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \]

という積分を２通りの方法で計算して求めます。計算する際には

に着目して計算します。

STEP1：ガウス積分を用いて J_n を計算する（１通り目）

まず \[ J_n＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \] について\(q_1,q_2, \cdots ,q_n\) は互いに独立であるので，

\[ J_n＝ \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-q^2_1} dq_1 \right)^n ＝\pi^{\frac{n}{2}} \]

とまとめます。ここで，ガウス積分の公式 \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\] を用いました。

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STEP2：球の面積と表面積の関係を調べる

次に，一度 \(J_n\) から離れて球の面積と表面積の関係を調べましょう。半径 \(r\) の \(n\) 次元球の体積を \(V_n (r)\) とすると，\(V_n (r)\) は \(r^n\) に比例するので \(V_n (r)=A_n r^n\) とおけます（\(A_n\) は比例定数）。

また，\(n\) 次元球の表面積 \(S_n\) は \(V_n\) を \(r\) で微分すると得られます。これより，面積と表面積の関係式

\[ S_n (r) =\frac{dV_n (r)}{dr} =nA_n r^{n-1}\]

が得られます。

STEP3：STEP2の関係から J_n を計算する（２通り目）

STEP2の関係を使って，\(J_n\) の積分変数を \(r\) に置換することを考えます。ここで，置換する際の考え方として

\(nA_n r^{n-1}\) に微小な厚さ \(dr\) をかけた微小な球体積 \(nA_n r^{n-1}dr\) は \(J_n\) の\(n\) 次元球の体積要素 \(dq_1 dq_2 \cdots dq_n\) に等しい

ことを使いましょう。これより置換の関係式

\[nA_n r^{n-1}dr=dq_1 dq_2 \cdots dq_n\]

が導くことが出来ます。また，置換する際は積分範囲についても考えます。\(J_n\) の積分範囲は \[q_i:-\infty \to \infty \; (i=1,2,\cdots) \] であった（＝一般化座標について全範囲を積分する）ので，これから，半径 \(r\) の積分範囲についても \[r:0 \to \infty\] とすることが出来ます。

また，半径 \(r\) の \(n\) 次元球の式は \[q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n = r^2　(0<r \leq R)\] と表せたので，これより \(J_n\) は

\[\begin{align} J_n &＝ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(q^2_1+q^2_2+ \cdots +q^2_n)} dq_1 dq_2 \cdots dq_n \\ &= \int_0^{\infty}e^{-r^2} n A_n r^{n-1} dr \\ &= n A_n \int_0^{\infty}e^{-t} t^{\frac{n-1}{2}} \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}} dt \quad (t=r^2) \\ &= \frac{nA_n}{2} \Gamma \left(\frac{n}{2} \right) \end{align}\]

と計算出来ることがわかります。

STEP4：STEP1，STEP3の結果を用いて V_n を求める

STEP1，STEP3の結果より

\[ A_n \frac{nA_n}{2} \Gamma \left(\frac{n}{2} \right)=\pi^{\frac{n}{2}} \]

であるので \(A_n\) について解くと \[A_n=\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})}\] を得ます。STEP2より，\(V_n(R)=A_n R^n\) であるので代入して

\[ V_n (R) =\frac{2\pi ^\frac{n}{2}}{n \Gamma (\frac{n}{2})} R^n\]

となり，\(n\) 次元の球の体積を求めることが出来ました。

\(n\) 次元の球の使用例

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1. この定義に基づくと \(n=1\) すなわち１次元の球は \(q_1^2=R^2\) となり，２点 \((-q_1,q_1)\) の内部の直線であることがわかります ↩︎