ガンマ関数 \[\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}e^{-z} t^{z-1}dt\] とその性質についてまとめます。
ガンマ関数の定義
ガンマ関数には定義の仕方がいくつかあります。まず最初に一般的である積分を用いた定義を示しましょう。
$\textrm{Re} (z)>0$ を満たす複素数 $z$ に対し\[\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}e^{-z} t^{z-1}dt \] で定義される $\Gamma (z)$ をガンマ関数という。
ガンマ関数は，本来自然数で定義された階乗記号を複素関数に拡張するための関数で，統計学においてしばしば登場します。
ガンマ関数の性質とその証明
ガンマ関数について，次の性質が成り立ちます。
- 性質１\[ \Gamma (1) =1\]
- 性質２ \[ \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
- 性質３ \[ \Gamma (z+1) =z \Gamma (z)\]
- 性質４ \[ \Gamma (n+1) =n! \quad n \in \mathbb{N}\]
特に性質３と４はガンマ関数の本質に関わる大事な性質です。
性質２では変数変換をしますが，これはガウス積分を使うと見通しが良くなることに依ります。また，性質３は部分積分をすることで示すことが出来ます。
【性質１の証明】\[\begin{align}
\Gamma (1) &= \int_{0}^{\infty} e^{-t}dt =\left[-e^{-t} \right]_{0}^{\infty} \\
&=1
\end{align}\]
【性質２の証明】\[ \begin{align}
\Gamma \left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt \\
&= \int_{0}^{\infty}e^{-u^2} u^{-1} 2u du \quad (t=u^2) \\ &= 2\int_{0}^{\infty}e^{-u^2} du=\sqrt{\pi} \end{align}\]
【性質３の証明】\[ \begin{align}
&\Gamma (z+1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z}dt \\
&=\left[-e^t t^z \right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} ze^{-t}t^{z-1}dt \\
&= z \Gamma (z)
\end{align}\]
【性質４の証明】
\(z=n\) とし，性質３を繰り返し用いると \[ \begin{align}
\Gamma (n+1) &=n \Gamma (n) \\
&= n(n-1)\cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1 \cdot \Gamma (1)
\end{align}\] 性質１より，\(\displaystyle \Gamma (1) =1\) であるので \[ \Gamma (n+1) =n! \] (証明終)
ガンマ関数では特に性質３，４が重要です！この２つを見比べると \[\Gamma (z+1) =z \Gamma (z)\] \[\Gamma (n+1) =n!\] より，ガンマ関数は自然数では階乗を表し，複素数においても階乗と同じような扱いを出来ることがわかります。
統計力学への活用はこちらをご覧ください
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