極形式の定義や意味，極形式への変換方法と計算問題をわかりやすく紹介します。
極形式の導入
複素数平面では，\(i\) を回転の作用を持つものとして考え導入しました。
そこで，特に回転に関する議論をしたいときに従来の複素数の形 \[z=a+bi\] とおいているのでは複素数の良さが発揮出来ないので，
回転に都合の良いように座標を取ろう
ということで \[z=r(\cos \theta + i \sin \theta)\] の形で複素数 \(z\) を表す方法を導入します。
このような \(z\) の表し方を \(z\) の極形式といいます。また，このときの \(\theta\) を \(z\) の偏角といい，\(\arg z\) で表します。
あんとら\(\arg z\) の表し方は１つには定まらないので，通常 \(0 \leqq \arg z < 2\pi\) や \(-\pi \leqq \arg z < \pi\) といった形で範囲の指定をされることが多いです
ここで，\(z=a+bi\) と比較すると極形式の表示は \[a=r\cos \theta,\;b=r\sin \theta\] でおいたものとして見ることが出来るので複素数の絶対値 \(|z|\) は \[\begin{align} |z| &=\sqrt{a^2+b^2} \\ &=\sqrt{r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta} \\&=r\sqrt{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta} \\&=r \end{align}\] と出来ます。
\(z=2+2\sqrt{3}i\) を極形式で表し，複素平面上に図示しなさい。ただし \(0 \leqq \arg z < 2\pi\) とする。
\(|z|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4\) であることに注意して求めると \[\begin{align} z &=4\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \\ &= 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} +i\sin \frac{\pi}{3}\right) \end{align}\] また，図示すると次の通り。
極形式表示による複素数の積と商
複素数 \(z_1,z_2\) が極形式の形 \[z_1=r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1),\; z_2=r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\] で表されているときの積と商を計算してみましょう。
複素数 \(z_1,z_2\) が極形式の形 \[z_1=r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \\ z_2=r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\] で表されているときの積と商を計算してみましょう。
積 \(z_1 z_2\) の計算
積 \(z_1 z_2\) を計算すると \[\begin{align}z_1 z_2 &=r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ &=r_1 r_2 \{(\cos \theta_1 \cos \theta_2 -\sin \theta_1 \sin \theta_2) +i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2)\} \\ &= r_1 r_2 \{\cos (\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2) \}\end{align}\] となり，極形式の積は偏角の和になることがわかります。
商 \(z_1 /z_2\) の計算
商 \(z_1 /z_2\) を計算すると \[\begin{align}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} \\ &= \frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 -i \sin \theta_2)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)(\cos \theta_2 -i \sin \theta_2)} \end{align}\] ここで，分母は \[\begin{align} & r_1\{(\cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2) +i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 -\cos \theta_1 \sin \theta_2)\} \\ &=r_1 \{\cos (\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\} \end{align}\] 分子は \[r_2 (\cos^2 \theta_2 +\sin^2 \theta_2) =r_2\] であるので \[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos (\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\] となり，極形式の商は偏角の差になることがわかります
これより，次の性質が成り立ちます。
複素数 \(z_1,z_2\) について
- 極形式の積の絶対値は絶対値 \(r_1,r_2\) の積，すなわち \[|z_1 z_2|=r_1 r_2\]
- 極形式の積は偏角の和で計算できる。すなわち \[\arg (z_1 z_2)=\arg z_1 + \arg z_2\]
- 極形式の商の絶対値は絶対値 \(r_1,r_2\) の商，すなわち \[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\]
- 極形式の商は偏角の差で計算できる。すなわち \[\arg \frac{z_1}{z_2}=\arg z_1 -\arg z_2\]
あんとら積を偏角の和で計算できる，ということはとても凄い性質で，複素数の持つ利点の１つです！
この性質により点の回転操作が簡単に出来るようになります
３つの複素数 \[z_1=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right),\;z_2=\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right),\;z_3=3\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)\] について積 \(z_1 z_2 z_3\) を計算しなさい。
３つの複素数 \[z_1=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right),\\ z_2=\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right),\\ z_3=3\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)\] について積 \(z_1 z_2 z_3\) を計算しなさい。
偏角の和を計算すると \[\arg (z_1 z_2 z_3 )=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\] 絶対値の積は \(r_1 r_2 r_3 =6\) より \[\begin{align}z_1 z_2 z_3 &=6 \left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right) \\ &=-6i\end{align}\]
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