ド・モアブルの定理 \[(\cos \theta +i\sin \theta )^n=\cos n\theta +i\sin n\theta\] の使い方と具体例を例題を併せてわかりやすく紹介します。
ド・モアブルの定理
複素数を極形式 \[z=r(\cos \theta +i\sin \theta)\] で表すときの性質として
複素数の積は絶対値の積と偏角の和を取ると簡単に計算できる
というものがあります。
ここでは特に，偏角に関する性質を考えます。いま，複素数 \[z=\cos \theta +i\sin \theta,\;w=\cos \phi +i \sin \phi\] の積 \(zw\) を考えると，偏角の和は \(\theta +\phi\) で計算できるので \[zw =\cos (\theta +\phi)+\sin (\theta +\phi)\] となります。ここで \(\theta=\phi\) すなわち \(z=w\) のとき \[z^2 = \cos 2\theta +i\sin 2\theta\] と書けます。同様に考えると \[z^3 = \cos 3\theta +i\sin 3\theta\] \[z^4 = \cos 4\theta +i\sin 4\theta\] …となり，任意の自然数 \(n\) に対し
\[z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta\]
の形で表せることがわかります。
この性質は \(n\) が負の整数のときにも拡張することが出来ます。 \(z \overline{z}=|z|^2=1\) であることを使うと \[\begin{align} z^{-1} &=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\cos \theta -i\sin \theta \\ &= \cos (-\theta )+i\sin (-\theta) \end{align}\] と出来るので，これより，任意の整数 \(n\) に対し次のようにまとめることが出来ます。
任意の整数 \(n\) に対し \[(\cos \theta +i\sin \theta )^n=\cos n\theta +i\sin n\theta\] が成り立つ。これをド・モアブルの定理という
あんとら複素数の積は回転の性質を持つ，ということから明らかな定理ですが，応用がかなり効く法則です
ド・モアブルの定理の計算例
ド・モアブルの定理の計算例として次のような問題を考えます。
複素数 \(z=1+\sqrt{3}i\) とおく。以下の問に答えなさい。
(1) \(z\) を極形式の形で表しなさい。
(2) \(z^{6}\) を求めなさい。
(1) \(z\) を極形式に直すと \(\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\) より\[z=2\left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)\]
(2) ド・モアブルの定理より \[\begin{align} z^{6} &=2^{6}\left( \cos \frac{6 \pi}{3}+i\sin \frac{6\pi}{3}\right) \\ &=2^6 (\cos 2\pi +i\sin 2 \pi) \\ &=2^6=128\end{align}\]
オイラーの公式とド・モアブルの定理
複素数は極形式の形で \[z=r(\cos \theta +i\sin \theta)\] とおけるので，オイラーの公式 \[e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta\] を使うと \[z=r e^{i \theta}\] と書くことができます。これにより，複素数を指数関数を用いて表すことが出来るようになります。
\(2e^{\frac{\pi}{6}i}\) を \(z=a+bi\) の形で表すと \[2e^{\frac{\pi}{6}i}=2\left( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+i\]
あんとら指数関数表記のメリットの１つとして極形式の表記が簡略化できることがあります
また，余談ですが表記の簡略化の１つとして \(\cos \theta +i\sin \theta =\text{cis}\; \theta\) と書く方法もあります（マイナーですが）
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