ベルヌーイ型微分方程式のよくわかる解き方と例題

2024年2月9日2024年12月12日

ベルヌーイ型微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0\] の解き方と例題をまとめます。

ベルヌーイ型微分方程式とは

\[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0\] の形で表される微分方程式のことを「ベルヌーイ型微分方程式」といいます。

ベルヌーイ型微分方程式の例

例１ \[\frac{dy}{dx}+\sqrt{1+x^2}y + y^n \sin x=0 \quad (p(x)=\sqrt{1+x^2} ,\; q(x)=\sin x )\]

例２ \[\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}+(3x-1)y^4=0 \quad (p(x)=\frac{1}{x} ,\; q(x)=3x-1 , \; n=4 )\]

ここで $n=0$ のとき \[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)=0\] $n=1$ のとき \[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y=0\] となりこれは線形１階微分方程式になるので，ベルヌーイ型の微分方程式は通常 $n \neq 0,1$ で考えます。

ベルヌーイ型微分方程式の解き方

ベルヌーイ型の微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0\] を解いてみましょう。この方程式は通常 $z=y^{1-n}$ という変数変換を用いて解くことが出来ます。

あんとら

上手く変数変換をすることによって $y^n$ を消したい，という目的意識があります

変数変換して元の式に代入する

$z=y^{1-n}$ の変数変換をするとき，$\displaystyle z=\frac{y}{y^n}$ より $y=zy^n$ と出来ます。

また，合成関数の微分法から $z$ を微分し，$dy/dz$ について解くと \[\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\] \[\frac{dy}{dx}=\frac{y^n}{1-n}\frac{dz}{dx}\] となり，$dy/dz,z$ を方程式に代入すると \[\frac{y^n}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)zy^n+q(x)y^n=0\] \[\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z+(1-n)q(x)=0\] これは $z$ に対する線形１階微分方程式となるので解くことが出来るようになります。

ここで，線形１階微分方程式の解は \[ y=\exp \left( – \int p(x)dx \right) \left[ -\int q(x)\exp \left( \int p(x)dx \right) dx + C \right]\] であったのでした。

あんとら

一般解を覚えている方はあまりいないかと思われますが，微分方程式は実際に解ければ実用上はあまり問題ないので，ここでは流れを追えれば大丈夫です

これを用いて $p(x),q(x)$ を $(1-n)p(x)$，$(1-n)q(x)$ と取り直すと $z$ に対する微分方程式の解は \[z=\exp \left( – \int (1-n)p(x)dx \right) \left[ -\int (1-n)q(x)\exp \left( \int (1-n)p(x)dx \right) dx + C \right]\] となります。

$z$ は自分で置いた文字であり $z=y^{1-n}$ であったので，結局ベルヌーイ型の微分方程式の一般解は \[y^{1-n}=\exp \left( – \int (1-n)p(x)dx \right) \left[ -\int (1-n)q(x)\exp \left( \int (1-n)p(x)dx \right) dx + C \right]\] と求めることができます。

ベルヌーイ型微分方程式の解き方のコツ

ベルヌーイ型の微分方程式は $z=y^{1-n}$ という変数変換をし，１階線形微分方程式を解く

例題

以上の流れがベルヌーイ型微分方程式を解く際の流れになりますが，抽象度が高く難しかったと思われます。以下で実際に解いて解き方を確認しましょう。

例題

次のベルヌーイ型微分方程式を解くことを考える。\[\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}+(3x-1)y^4=0\] (1) 適切な変数変換を行うことで線形１階微分方程式に変形せよ。

(2) (1)の線形１階微分方程式を定数変化法を用いて解け。

(3) 変数をもとに戻すことで上のベルヌーイ型微分方程式の解を求めよ。ただし解は $y= \cdots$ の形にしなくて良い。

【解答・解説】
(1) 元の微分方程式は $n=4$ のベルヌーイ型の微分方程式なので $z=y^{1-4}=y^{-3}$ と変数変換する。このとき $y=zy^4$ であり，また $z$ の微分は \[\frac{dz}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}\] $dy/dx$ について解くと \[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{3}y^4 \frac{dz}{dx}\] $y=zy^4$ と $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ を方程式に代入すると \[-\frac{1}{3}y^4 \frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}y^4+(3x-1)y^4=0\] $y^4$ で割ると \[-\frac{1}{3} \frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}+(3x-1)=0\] となり，$z$ に関する線形１階微分方程式を得る。

(2) $z$ に関する線形１階微分方程式 \[-\frac{1}{3} \frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}+(3x-1)=0\] を定数変化法で解く。斉次方程式 \[-\frac{1}{3} \frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}=0\] は変数分離法を使うと，その解は $A$ は定数として \[z=Ax^3\] となる。ここで $A$ を $x$ の関数 $A(x)$ と見ると $z=A(x)x^3$ より \[\frac{dz}{dx}=A'(x)x^3+3x^2A(x)\] もとの微分方程式に代入すると \[A'(x)=\frac{3x-9}{x^3}\] よって \[A(x)=-\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}+C \quad (C: \text{const})\] これより \[\begin{align} z &= A(x)x^3 \\ &=-3x^2-9x+Cx^3 \end{align}\]
(3) $z=y^{-3}$ と変数変換していたので，元に戻すと，ベルヌーイ型の微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}+(3x-1)y^4=0\] の解は \[y^{-3}=-3x^2-9x+Cx^3 \] と求まる。