変数分離形の微分方程式 \[\frac{dy}{dx}=X(x)Y(y)\] の解き方と例題をまとめます。
変数分離形方程式の解き方
微分方程式 \[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\] の\(f(x,y)\) が \(x\) の関数と \(y\) の関数の積で与えられた関数である。すなわち \[\frac{dy}{dx}=X(x)Y(y)\] の形で表されるとき，この式を変数分離形微分方程式といいます。
変数分離形方程式は以下の2ステップに従って簡単に解くことが出来ます。
\[\frac{dy}{dx}=X(x)Y(y)\] のどちらかの辺を \(x\) のみ，もう一方の辺を \(y\) だけに分離します。すなわち \[\frac{dy}{Y(y)}=X(x)dx\] とします。微分演算子 \(dx,dy\) は分数のように扱います。
両辺を積分します。このとき \[\int \frac{dy}{Y(y)}= \int X(x)dx\] となり，これが変数分離形微分方程式の一般解になります。
以下で例題を扱いますが，多くの変数分離型の微分方程式では $x,y$ の積分は簡単に解けるものが一般的です。
変数分離型微分方程式の例題
微分方程式 \[ \frac{dy}{dx}=x(1-y)\] を解きなさい。
この例題では \(X(x)=x,\; Y(y)=1-y\) になりますね。
変数分離形の方程式は \(x\) の関数と \(y\) の関数の積で書けることがポイントであり，例えば \[\frac{dy}{dx}=x+1-y\] の形だと変数分離形方程式として処理は出来ないことに注意してください。
【解答】
与方程式は \[ \frac{dy}{y-1}=-x dx\] と変数分離することが出来る。両辺積分すると \[
\int \frac{dy}{y-1}=-\int x dx
\] ここで左辺は \[
\int \frac{dy}{y-1}= \log |y-1|+\text{const}
\] 右辺は \[
– \int x dx =- \frac{1}{2} x^2 +\text{const}
\] 定数を \(C\) と置き直すと \[
\log |y-1|=-\frac{1}{2} x^2 +C
\] 対数を戻すと \[
|y-1|= e^{\frac{-x^2}{2}+C} \quad \text{i.e.} \quad y=1 \pm e^{\frac{-x^2}{2}+C}
\] ここで \(A= \pm e^C\) とすると \[ y=1 +A e^{\frac{-x^2}{2}}\] となり，これが求める解である。
この例で扱った「変数を分離する」という解き方は微分方程式の解法の基本であり，今後の微分方程式でも基本となる考えになります。
（おまけ）微分方程式の解のグラフ
実際に \(\displaystyle A=2,\; \frac{1}{2}\) として\(\displaystyle y=1 +A e^{\frac{-x^2}{2}}\) のグラフを描いてみると次の通りになります。
このグラフが微分方程式 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=x(1-y)\) の解曲線の１つを表します。
あんとら方程式ではある値（定数）が解になりましたが，一般に微分方程式では関数が解になります
変数分離形微分方程式の応用
変数分離形微分方程式は微分方程式の中でも最も基本的な形であり，数学以外にも様々なところで出現します。例として次のような単純な自由落下の問題も微分方程式を解くことで解を求めることが出来ます。
質量 \(m\) の物体が原点から鉛直方向に自由落下させるとき，以下の問に答えよ。ただし，時刻 \(t=0\) の位置を原点とし，運動方向を \(x\) 軸正方向に取るものとする。
(1) 時刻 \(t\) における物体の加速度 \(a\) を求めなさい。
(2) 時刻 \(t\) における物体の速度 \(v\) を求めなさい。
(3) 時刻 \(t\) における物体の位置 \(x\) を求めなさい。
【解答】
(1) 物体にかかっている力の大きさは \(mg\)，向きは \(x\) 軸正方向であるので，運動方程式は \[ma_x=mg\] よって \[a_x=g\] これより，物体は \(x\) 軸正方向に大きさ \(g\) で等加速度運動をする。
(2) 加速度は速度を時間微分したもの，すなわち \(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}\) であるので，\[\frac{dv}{dt}=g\] これは変数分離形の微分方程式であるので時刻 \(t\) について積分すると \[v=gt+C_0\] ただし，\(C_0\) は定数である。ここで，時刻 \(t=0\) において速度 \(v=0\) であるので，上式に \((v,t)=(0,0)\) を代入し \(C_0\) を求めると \(C_0=0\) となる。よって，求める答えは \[v=gt\]
(3) 速度は位置を時間微分したもの，すなわち \(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}\) であるので \[\frac{dx}{dt}=gt\] これを時刻 \(t\) について積分すると \[x=\frac{1}{2}gt^2+C_1\] ただし，\(C_1\) は定数である。時刻 \(t=0\) において物体は原点にいる，すなわち \(x(0)=0\) であるので，\(C_1\) を求めると \(C_1=0\) を得る。これより，求める答えは \[x=\frac{1}{2}gt^2\]
応用的な問題はこちら
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