よくわかる同次型微分方程式の解き方と例題・解説

ここでは同次型微分方程式 \[\frac{dy}{dx}=f\left( \frac{y}{x}\right)\] の解き方とその例題についてまとめます。

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同次型微分方程式とは

\(f\) は任意の多項式関数としたとき \[\frac{dy}{dx}=f\left( \frac{y}{x}\right)\] の形で表される微分方程式を「同次型微分方程式」といいます。

一つ目の例では \[ \frac{dy}{dx}=\frac{2-\frac{y}{x}}{5-2\frac{y}{x}}\] と書き換えることが出来るので同次型の微分方程式になります。

二つ目の例は少しわかりづらいですが辺々を \(x^2\) で割ると \[\left(1+\frac{y}{x}+2\frac{y^2}{x^2}\right)+\left(1-\frac{y}{x}\right)\frac{dy}{dx}=0\] と書けるのでこれも同次型微分方程式であることがわかります。

このように，同次型微分方程式とは（更に言えば同次であるとは）どの次数の \(x\) の項も \(y\) の次数と等しい式のことを言います。

同次型微分方程式の解き方

同次型微分方程式 \[\frac{dy}{dx}=f\left( \frac{y}{x}\right)\]の一般的な解き方をまとめます。解く際はこの微分方程式が \(\displaystyle f\left( \frac{y}{x} \right)\) の形で表されるのが特徴であったことを利用します。

また，以下では見通しを良くするために \(\displaystyle u=\frac{y}{x}\) すなわち \(y=ux\) と置換して考えます。すると，合成関数の微分法より\[\frac{dy}{dx}=x \frac{du}{dx}+u\]また，元の微分方程式は \[\frac{dy}{dx}=f(u)\] と書けるのでこれより\[ x \frac{du}{dx}+u=f(u)\] とできます。次いで一般解を求めてみましょう。上の式は整理すると \[ \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\] となり，これは変数分離形の微分方程式に帰着します。

変数が各辺に分離されたのでこれを積分すると \[\int \frac{du}{f(u)-u}= \int \frac{dx}{x}\] となり \[ \int \frac{dx}{x}=\log |x| +C \quad (C:\text{const})\] であることから，同次型微分方程式の一般解の公式を得ることができます。

同次型微分方程式の例題

実際に同次型微分方程式を解いてみましょう。

【解答】
(1) \(y=ux\) とすると，合成関数の微分法より \[ \frac{dy}{dx}=x \frac{du}{dx}+u \] \(u\) で置換して整理すると \[ x \frac{du}{dx}+u =\frac{5-2u}{2-u}\] よって \[\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\frac{5-4u+u^2}{2-u}\] となり，これは変数分離形微分方程式となる。変数分離して \[ – \frac{u-2}{u^2-4u+5}du=\frac{dx}{x}\] 積分すると \[ – \int \frac{u-2}{u^2-4u+5}du= \int \frac{dx}{x}\] ここで，右辺について計算すると\[ \int \frac{dx}{x}=\log |x| +C\] 左辺も計算すると \[ \begin{align} \int \frac{u-2}{u^2-4u+5}du&= \frac{1}{2} \int \frac{2u-4}{u^2-4u+5}du\
\\ &=-\frac{1}{2} \log |u^2-4u+5| \end{align}\] よって \[ -\frac{1}{2} \log |u^2-4u+5|=\log |x| +C\] 整理すると
\[ \log |u^2-4u+5|=\log |cx^{-2}| \quad (C= \log c)\] \[ u^2-4u+5 =\frac{c}{x^2}\] \(\displaystyle u=\frac{y}{x}\) であるので戻すと \[\left( \frac{y}{x} \right)^2-4\left( \frac{y}{x} \right)+5 =\frac{c}{x^2}\] これを整理して，求める解は \[5x^2-4xy+y^2=c\]

(2) 与式は \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)\] と変形出来る。 \[ u=\frac{y}{x},\quad \frac{dy}{dx}=x \frac{du}{dx}+u\] を代入すると \[ x \frac{du}{dx}+u=\frac{1}{2}\left( u+\frac{1}{u} \right)\] 整理すると \[ x \frac{du}{dx}=\frac{1-u^2}{2u}\] これは変数分離形方程式であるので，変数を分離して \[ \frac{2u}{1-u^2}=\frac{dx}{x}\] 辺々積分して \[ \int \frac{2u}{1-u^2}= \int \frac{dx}{x} \] ここで \[ \begin{align} &\int \frac{2u}{1-u^2}= -\frac{1}{2} \int \frac{2u}{u^2-1}du
\\ &= \log |u^2-1| \end{align} \] であることから \[-\log |u^2-1| = \log |x| +C\] を得る。書き直すと \[ u^2 = 1+\frac{2A}{x},\quad 2A=\pm e^{-C}\] よって，\(u=y/x\) を代入して元に戻すと求める解は \[(x+A)^2-y^2=A^2\]

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