リッカチ型微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+p(x)y^2+q(x)y+r(x)=0\] の解き方と例題を紹介します。
- リッカチ型の微分方程式とは何か
- リッカチ型の微分方程式の解き方
リッカチ型微分方程式とは
\(p(x),q(x),r(x)\) を与えられた \(x\) の関数としたとき \[\frac{dy}{dx}+p(x)y^2+q(x)y+r(x)=0\] で表される微分方程式のことを「リッカチ型微分方程式」といいます。1
ベルヌーイ型の微分方程式に形が少し似ているところが特徴です。
特解がわかっているときの解法
リッカチ型の微分方程式の初等的な解法はありません。
なのですべての形が解けるわけではありませんが，具体的な特解がわかっているとき，次で紹介する方法によって解くことが出来ます。
変数変換をしてベルヌーイ型に持っていく
いま，ベルヌーイ型の微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+p(x)y^2+q(x)y+r(x)=0\] の特解が \(u(x)\) で与えられているとします。
ここで一般解 \(y\) は「特解 \(u(x)\)」＋「未知関数 \(z(x)\)」で与えられると仮定し，一般解 \[y=u(x)+z\] を考えます。
\(y\) の微分は \[\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dz}{dx}\] であり，これらをリッカチ型の微分方程式に代入すると \[\begin{align} &\frac{du}{dx}+\frac{dz}{dx}+p(x)(u(x)+z)^2 +q(x)(u(x)+z)+r(x) \\ &= \frac{dz}{dx}+p(x)[z^2+2u(x)z]+q(x)z \\ & \quad \quad \quad \color{red}{+\frac{du}{dx}+p(x)u(x)^2+q(x)u(x)+r(x)}=0\end{align}\] ここで，赤字の部分は特解であるので０になります。残った部分 \[\frac{dz}{dx}+p(x)[z^2+2u(x)z]+q(x)z=0\] は \(n=2\) のベルヌーイ型の微分方程式になるので，解くことが出来るようになります。2
例題
実際にリッカチ型の微分方程式を解いてみましょう。
以下の設問に答えなさい。
(1) \(y=x+1\) はリッカチの微分方程式 \[\frac{dy}{dx}+3xy^2 -3x^2 y -3x^2 -3x -1=0 \quad \cdots [1]\] の特解であることを確かめなさい。
(2) 微分方程式 \([1]\) を解きなさい。
リッカチの微分方程式は基本的に「特解を探す」→「変数変換をして解く」という流れで対応します。
ここでは事前に特解が与えられているものとして考えます。
\(y=x+1\) において \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=1\) より微分方程式に代入すると \[1+3x(x+1)^2-3x^2 (x+1)-3x^2 -3x -1=0\] となり，示された。
少し計算は大変ですが (2) は形式に沿って解くことが出来ます。
(1) より一般解は未知関数 \(z(x)\) を用いて \(y=x+1+z\) で与えられます。\[\frac{dy}{dx}=1+\frac{dz}{dx}\] よりこれらを [1] に代入すると \[\begin{align} &1+\frac{dz}{dx}+3x(x+1+z)^2 -3x^2 (x+1+z) -3x^2 -3x -1 \\ &=\frac{dz}{dx}+3xz^2 +(6x+3x^2)z=0 \end{align}\] これより \(n=2\) のベルヌーイの方程式 \[\frac{dz}{dx}+3xz^2 +(6x+3x^2)z=0\] が導かれます。
\(n=2\) のベルヌーイ型の微分方程式であるので \(u=z^{1-2}=z^{-1}\) という変数変換を考えます。
合成関数の微分法より \[\frac{du}{dx}=-\frac{2}{z^2} \frac{dz}{dx}\] \(dz/dx\) について解くと \[\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{2}z^2 \frac{du}{dx}\] これらを \(z\) の微分方程式に代入すると \[-\frac{1}{2}z^2 \frac{du}{dx}+3xz^2 +(6x+3x^2)uz^2=0\] 整理すると \[ \frac{du}{dx}-6x -6(2x+x^2)u=0\] となり，これは１階線形微分方程式となります。
これを解くと \[u=\frac{1}{z}=\left[\int 6xe^{-2x^2(x+3)}dx +C \right]e^{2x^2(x+3)}\] ここで \[y=x+1+z\] より，求める解は \[\frac{1}{y-x-1}=\left[\int 6xe^{-2x^2(x+3)}dx +C \right]e^{2x^2(x+3)}\] となります
あんとら答えの形が汚くてすみません。いつか綺麗な数値になるように設定します…
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