複素関数の微分と関数の正則条件のまとめ

複素関数の微分 \[f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z +\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\] と複素関数の正則条件についてまとめます。

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複素関数の導関数と微分

関数の微分を複素数に拡張しましょう。一般に複素関数の微分の定義は以下で与えられます。

微分の定義は実関数の微分と形がさほど変わるものではありませんが，$\Delta z$ が複素数になっている点には注意が必要です。

実関数との比較

復習として，実関数の微分 \[
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\] を考えましょう。この導関数 $f'(x)$ が存在する(微分可能な)為には，$h \to \pm 0$ の2つの極限を考える必要がありました。これは見方によっては，実関数では $h \to 0$ の近づき方が2通りしかないので，この2通りさえ考えれば微分可能性が担保されると言い換えることも出来ます。

複素関数ではどうでしょうか。実関数とは違い，$\Delta z \to 0$ の近づき方は平面に拡張されるため，実関数よりも偏角分だけ極限の取り方の情報量は多くなるといえますね。

詳しくは次節でまとめますが，このような対応を考えると，複素関数の微分を考えるときは「どのように近づけても $f'(z)$ が同じ値にならなくてはならない」制限をかけなくてはなりません。この制限(性質)は今後の複素関数の議論で頻繁に使うことになります。

複素関数の正則条件

上記の「どのように近づけても $f'(z)$ が同じ値にならなくてはならない」性質について改めてまとめましょう。

ここで出てくる「正則」「特異点」の2つに関しては今後の議論で非常に重要となってきます。

以上をまとめると，複素関数の正則条件である「どのように近づけても $f'(z)$ が同じ値になる」性質とは，実関数での「ある $x$ で滑らかに変化する」性質と似たものであることが直感的にわかりますね。

次の例題で実際に微分の練習も兼ねて関数が正則であるか否か確認してみましょう。

考え方

関数が正則であるか否かを調べるには $f'(z)$ が存在するか否かを調べる必要があるので，まずは定義に従って $f'(z)$ を計算します。

【解答】
(1) $f(z)=z^2$ について微分係数 $f'(z)$ を計算すると \[
\begin{align}
f'(z)&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{2z\Delta z +(\Delta z)^2 }{\Delta z} \\
&=\lim_{\Delta z\to 0} (2z+\Delta z) =2z
\end{align}
\] これより $\Delta z$ の近づけ方に依らず $f'(z)=2z$ となることがわかる。よって $f(z)=z^2$ は複素平面全体で正則である。

(2) $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$ も(1)と同様に計算すると \[
\begin{align}
f'(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{\Delta z} \left(\frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z} \right) \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{\Delta z} \frac{-\Delta z}{(z+\Delta z)z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{-1}{(z+\Delta z)}
\end{align}
\] これは，例えば$\Delta z =\Delta x$(実軸に沿って近づける)を仮定した場合$\Delta x \to \pm 0$ で答えが異なる。従って$f(z)$は正則でない。

【補足】
$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$ は $z=0$ を特異点として，$z=0$ 以外で正則であるという言い方も出来ます。

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