複素関数 \[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\] における基本事項と様々な関数（\(\sin ,\log\) など）の表し方をわかりやすく紹介します。
複素関数への拡張と定義
今までの議論では関数 \(f\) は実数を定義とするものが殆どでしたが，この関数を複素数に拡張することを考えます。
複素関数 \(f(z)\) は \(x,y\) の実数値関数 \(u(x,y),v(x,y)\) を用いて \[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\] の形で与えられる（\(i\) は虚数）
このように，変数に複素数をとるように拡張した関数を複素関数といいます。いくつか例を見てみましょう。
複素関数の例
次の関数の実部 \(u(x,y)\) と虚部 \(v(x,y)\) を求めなさい。
(1) \(f(z)=z^2\) (2) \(f(z)=e^z\)
このような関数では複素変数 \(z=x+iy\) （\(x,y\) は実数）を代入し，実部と虚部にわけることで \(u,v\) を求めることが出来ます。
(1) 複素変数 \(z=x+iy\) を代入すると \[f(z)=(x+iy)^2=(x^2 -y^2)+i(2xy)\] より \[u(x,y)=x^2-y^2,\; v(x,y)=2xy\]
(2) 複素変数 \(z=x+iy\) を代入すると \[\begin{align} f(z) &=e^{x+iy}=e^x e^{iy} \\ &=e^x (\cos y +i\sin y) \\ &=e^x \cos y +i e^x \sin y \end{align}\] よって \[u(x,y)=e^x \cos y,\; v(x,y)=e^x \sin y\]
特に (2) の \(f(z)=e^z\) を複素数の指数関数といいます。
あんとら\(z=x\) （実部のみ）とすると \(f(x)=e^x\) となり，実数の指数関数の自然な拡張になっていることがわかります
複素数における三角関数
三角関数を複素数で表すことを考えます。オイラーの公式と \(\theta \) を \(-\theta\) に置き換えた式 \[e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta \\e^{-i\theta}=\cos \theta -i\sin \theta \] より \[\cos \theta =\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2},\; \sin \theta =\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}\] と表すことが出来ます。ここで，\(\theta\) を複素変数 \(z\) で置き換えた式
\[\cos z =\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2},\; \sin z =\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}\]
を複素数における三角関数として定義します。また，\(\tan z\) は \[\tan z =\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{1}{i}\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{e^{i z}+e^{-i z}}\] で定義されます。
\(\cos z \) の実部 \(u(x,y)\) と虚部 \(v(x,y)\) を求めなさい。
\(\displaystyle \cos z =\frac{1}{2}(e^{i z}+e^{-i z})\) に \(z=x+iy\) を代入して \[\begin{align} &\cos z =\frac{1}{2}(e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}) \\ &=\frac{1}{2}\{e^{-y}(\cos x +i\sin x )+e^{y}(\cos x -i\sin x ) \} \\ &= \frac{1}{2}\{\cos x (e^{y}+e^{-y})+i \sin x (e^y-e^{-y}) \}\end{align}\] よって \[u(x,y)=\frac{1}{2}\cos x (e^{y}+e^{-y}) \\ v(x,y)=\frac{1}{2}\sin x (e^y-e^{-y})\]
複素数における対数関数
複素数の対数関数 \(w= \log z\) は，実数の対数関数と同じく，指数関数 \(w=e^z\) の逆関数，すなわち \[e^w=z\] として定義されます。
\(z=re^{i \theta}\) （\(r>0\)）に対して \(w=u+iv\) とおくと \[z=e^w=e^{u+iv}=e^u e^{iv}=re^{i \theta}\] であるので \[r=e^u,\quad v=\arg z\] が得られ，特に第２式において \(n\) を整数として \[u=\log r ,\quad v= \theta +2n\pi\] が得られます。このように１つの \(z\) に無限個の値が対応する関数を無限多価関数といいます。
ここで，\(w=\log z\) において \(-\pi < \arg z \leq \pi\) に制限すると，１つの \(z\) に対して１つの \(w\) が対応します。これを \(\log z\) の主値といい，\(\mathrm{Log}\; z\) で表します。
複素数 \(z\) に対し，対数関数 \(w= \log z\) を \(w=e^z\) の逆関数で定義すると \[\log z =\log r +i(\theta +2n \pi) \] で表される（\(n\) は整数）
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