コーシー・リーマンの関係式の証明と使い方

コーシー・リーマンの関係式 \[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \] についてその証明と使い方をまとめます。

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コーシー・リーマンの関係式とその証明

コーシー・リーマンの関係式は以下によって説明されます。

復習ですが，関数が正則である条件は「どの方向から $\Delta z$ を近づけても $f'(z)$ は同じ値になる」ことでした。コーシー・リーマンの関係式の証明ではこの性質について，特に

について考えます。実際に証明してみましょう。

実軸に平行に近づけるとき

まず $f'(z)$ について $x$ 軸(実軸)に平行に近づけることを考えます。このとき $\Delta y=0$ より $\Delta z =\Delta x$ であることから \[
\begin{align}
f'(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{[u(x+\Delta x,y)+iv(x+\Delta x,y)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}{\Delta x} \\
&=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x} \\
&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align}
\] と書けます。

虚軸に平行に近づけるとき

次に $f'(z)$ を $y$ 軸に平行に近づけてみましょう。このとき $\Delta x=0$ で $\Delta z=i\Delta y$ となることから \[\begin{align}
f'(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\
&= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{[u(x,y+\Delta y)+iv(x,y+\Delta y)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}{i\Delta y} \\
&=-i \left[\lim_{\Delta z \to 0} \frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{\Delta y}+i\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y} \right]\\
&=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} \\
&=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}
\end{align} \] がわかります。

以上2通りの方法について，関数が正則であるときどのように近づいても$f'(z)$は同じにならなくてはならないので，$f'(z)$の実部，虚部を比較することにより

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \]

がわかります。これよりコーシー・リーマンの関係式が成り立つことが示されました。

例題

コーシー・リーマンの関係式は複素関数が正則であるか否かを調べるに際して非常に強力な式となります。実際に確かめてみましょう。

【解答】
$f(z) = z^2$ を $z = x + iy$（$x, y$ は実数）を用いて表すと \[
f(z) = (x + iy)^2 = x^2 -y^2 + 2xyi
\] これより実部 $u(x, y)$ と虚部 $v(x, y)$ が \[
u(x, y) = x^2 -y^2, \quad v(x, y) = 2xy
\] となる。$u,v$ の偏微分を確かめると\[
\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 -y^2) = 2x, \\
\frac{\partial u}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 -y^2) = -2y \\
\frac{\partial v}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y, \\
\frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x \end{align}
\] よって \[
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
\] であるため，$f(z)=z^2$ は正則であることがわかる。