クーロンの法則と重ね合わせの原理の基本事項と試験でよく出る例題についてまとめました。
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クーロンの法則
2つの電荷の間に働く力は，どれくらいの大きさになるでしょうか。
これを定量的に示したのが，フランスの物理学者クーロンによる「クーロンの法則」です。
- 真空中（または空気中）に，2つの「点電荷」（大きさを持たない点とみなせる電荷）$q_1$ と $q_2$ が，距離 $r$ だけ離れて置かれているとする。
- このとき，$q_1$ と $q_2$ の間に働く力（静電力，またはクーロン力）$\boldsymbol{F}$ の大きさ $F$ は，$$ F = k_0 \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$ で与えられる。
ここで，$k_0$ は比例定数で，「クーロンの法則の定数」と呼ばれます。その値は，$$ k_0 \approx 8.988 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2 / C^2} $$ です。当サイトでは当面，計算が簡単になるように $k_0$ をそのまま使いますが，この $k_0$ は通常，$$ k_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} $$ と表されます。
$\varepsilon_0$（イプシロン・ゼロと読みます）は「真空の誘電率」と呼ばれる非常に重要な物理定数で，$$ \varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2 / (N \cdot m^2)} $$ です。
したがって，クーロンの法則は $$ F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$ と書くのが，電磁気学では標準的です。
力の向き（ベクトルによる表現）
力はベクトル量ですので，向きも重要です。
電荷 $q_1$ の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}_1$，$q_2$ の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}_2$ とします。 $q_1$ が $q_2$ から受ける力 $\boldsymbol{F}_{2 \to 1}$ を考えましょう。
$q_2$ から $q_1$ へ向かうベクトルは $\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2$ です。この方向の単位ベクトル $\boldsymbol{e}_{2 \to 1}$ は，$$ \boldsymbol{e}_{2 \to 1} = \frac{\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|} $$ です。また，2点間の距離 $r$ は $r = |\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|$ です。
もし $q_1 q_2 > 0$（同符号）ならば，力は斥力（$\boldsymbol{e}_{2 \to 1}$ の向き）です。 もし $q_1 q_2 < 0$（異符号）ならば，力は引力（$-\boldsymbol{e}_{2 \to 1}$ の向き）です。
これらをまとめると，$\boldsymbol{F}_{2 \to 1}$ は次のように書くことができます。 $$ \boldsymbol{F}_{2 \to 1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \boldsymbol{e}_{2 \to 1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|^2} \frac{\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|} $$ $$ \boldsymbol{F}_{2 \to 1} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|^3} $$ このベクトル形式は，$q_1 q_2$ の符号も含めて力の向きを正しく表しています。
力の重ね合わせの原理
もし，電荷 $q$ のほかに，電荷 $q_1, q_2, q_3, \dots$ が存在する場合，電荷 $q$ が受ける力 $\boldsymbol{F}$ はどうなるでしょうか。
この場合，$\boldsymbol{F}$ は，$q$ が $q_1$ から受ける力 $\boldsymbol{F}1$，$q_2$ から受ける力 $\boldsymbol{F}_2$ など…のベクトル和になります。 $$ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + \boldsymbol{F}_3 + \dots = \sum_{i} \boldsymbol{F}_i $$ これを「（静）電力に関する重ね合わせの原理」と呼びます。
例題
$xy$ 平面上の3点 $A(0, a)$，$B(-a, 0)$，$C(a, 0)$ に，それぞれ $q_A = +q$，$q_B = +2q$，$q_C = +2q$ の点電荷が置かれている ($q>0, a>0$ とする)。
原点 $O(0, 0)$ に置かれた点電荷 $Q = -q$ が受ける静電力 $\boldsymbol{F}$ の大きさと向きを求めよ。真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とする。
あんとら複数の電荷から受ける力は，「重ね合わせの原理」を使います。
つまり，各電荷ペア（$q_A$と$Q$，$q_B$と$Q$，$q_C$と$Q$）から受けるクーロン力をそれぞれベクトルとして計算し，最後にそれらをベクトル的に足し合わせます。
【解答】
原点の電荷 $Q$ が受ける力を，重ね合わせの原理に従って計算する。
$Q$ が $q_A$ から受ける力を $\boldsymbol{F}_A$，$q_B$ から受ける力を $\boldsymbol{F}_B$，$q_C$ から受ける力を $\boldsymbol{F}_C$ とすると，求める力 $\boldsymbol{F}$ は $$ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_A + \boldsymbol{F}_B + \boldsymbol{F}_C $$
である。
まず $\boldsymbol{F}_A$ ($q_A = +q$ と $Q = -q$) について，$A(0, a)$ と $O(0, 0)$ の距離は $a$ である。
電荷は異符号なので，引力である。つまり，$Q$ は $A$ の方向（$+y$ 方向）に引かれる。
力の大きさ $F_A$ は， $$ F_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|(+q)(-q)|}{a^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} $$ 向きは $+y$ 方向なので，ベクトルで表すと $$ \boldsymbol{F}_A = \left( 0, \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right) $$
$\boldsymbol{F}_B$ ($q_B = +2q$ と $Q = -q$) について $B(-a, 0)$ と $O(0, 0)$ の距離は $a$ である。
また，電荷は異符号なので，引力である。$Q$ は $B$ の方向（$-x$ 方向）に引かれる。力の大きさ $F_B$ は，
$$ F_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|(+2q)(-q)|}{a^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2}{a^2} $$
向きは $-x$ 方向なので，ベクトルで表すと $$ \boldsymbol{F}_B = \left( – \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) $$
$\boldsymbol{F}_C$ ($q_C = +2q$ と $Q = -q$) について $C(a, 0)$ と $O(0, 0)$ の距離は $a$ である。
電荷は異符号なので，引力である。$Q$ は $C$ の方向（$+x$ 方向）に引かれる。力の大きさ $F_C$ は，$$ F_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|(+2q)(-q)|}{a^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2}{a^2} $$ 向きは $+x$ 方向なので，ベクトルで表すと $$ \boldsymbol{F}_C = \left( + \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) $$
以上より合力 $\boldsymbol{F}$ をベクトルの要素ごとに計算すると
$$ \begin{align}\boldsymbol{F}& = \boldsymbol{F}_A + \boldsymbol{F}_B + \boldsymbol{F}_C \\ &= \left( 0, \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right) + \left( – \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) + \left( + \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) \end{align}$$ $x$ 成分は $\boldsymbol{F}_B$ と $\boldsymbol{F}_C$ が互いに打ち消し合うことから
$$ \boldsymbol{F} = \left( 0, \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right) $$ よって，大きさは $F = \dfrac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$，向きは $+y$ 方向。
$y$ 軸上に，$-L \le y \le L$ の範囲で，線密度 $\lambda$ ($\lambda > 0$, 定数) で電荷が一様に分布している。
$x$ 軸上の点 $P(x_0, 0)$ ($x_0 > 0$) に点電荷 $q_0$ ($q_0 > 0$) を置いたとき，$q_0$ が受ける静電力 $\boldsymbol{F}$ を求めよ。真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とする。
あんとら線分のように電荷が連続的に分布している場合，そのままクーロンの法則を使うことはできません。そこで
(1) まず，線分を微小な部分 $dy$ に分割し，その部分が持つ電荷素片 $dq$ を考えます。
(2) $dq$ を点電荷とみなし，$dq$ が $q_0$ に及ぼす微小な力 $d\boldsymbol{F}$ をベクトルの形で立式します。
(3) この $d\boldsymbol{F}$ を，電荷が存在する全範囲（$y = -L$ から $L$）で積分します。
【解答】
連続的な電荷分布からの力を求めるには，電荷素片 $dq$ を考え，それが $q_0$ に及ぼす力 $d\boldsymbol{F}$ を積分する。
$y$ 軸上の位置 $y$ ($ -L \le y \le L $) にある微小な長さ $dy$ の部分を考える。
この部分が持つ電荷素片 $dq$ は，線密度が $\lambda$ なので，$$ dq = \lambda dy $$ である。
この $dq$ の位置ベクトルは $\boldsymbol{r}’ = (0, y, 0)$ である。点 $P$ の位置ベクトルは $\boldsymbol{r} = (x_0, 0, 0)$ である。$dq$ が $P$ の $q_0$ に及ぼす力 $d\boldsymbol{F}$ は，クーロンの法則のベクトル表示（$q_1=dq, q_2=q_0, \boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}’$ と考える）より，$$ d\boldsymbol{F} = \frac{dq \cdot q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|^3} $$ ここで，$$ \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’ = (x_0, -y, 0) $$ $$ |\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’| = \sqrt{x_0^2 + (-y)^2} = \sqrt{x_0^2 + y^2} $$ である。
したがって，
$$ \begin{align} d\boldsymbol{F} &= \frac{(\lambda dy) q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(x_0, -y, 0)}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} \\
&= \frac{\lambda q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{x_0}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy, \frac{-y}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy, 0 \right)
\end{align} $$ これを $y = -L$ から $y = L$ まで積分する。すると
$x$ 成分 $F_x$：$$ F_x = \int dF_x = \frac{\lambda q_0 x_0}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-L}^{L} \frac{1}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy $$ $y$ 成分 $F_y$：$$ F_y = \int dF_y = \frac{\lambda q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-L}^{L} \frac{-y}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy $$ となる。
まず $F_y$ を計算する。被積分関数 $f(y) = \frac{-y}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}}$ は奇関数（$f(-y) = -f(y)$）である。
奇関数を対称な区間（$-L$ から $L$）で積分すると $0$ になる。よって，$F_y = 0$ である。
あんとらこれは，対称性からも明らかです。$y > 0$ の部分からの力と $y < 0$ の部分からの力の $y$ 成分は互いに打ち消し合います。
次に $F_x$ を計算する。積分 $\int \frac{1}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy$ は，$y = x_0 \tan \theta$ と置換積分する。
$$dy = x_0 \sec^2 \theta d\theta$$ $$x_0^2 + y^2 = x_0^2 (1 + \tan^2 \theta) = x_0^2 \sec^2 \theta$$ これより $$ \begin{align}\int \frac{x_0 \sec^2 \theta}{(x_0^2 \sec^2 \theta)^{3/2}} d\theta &= \int \frac{x_0 \sec^2 \theta}{x_0^3 \sec^3 \theta} d\theta \\
& = \frac{1}{x_0^2} \int \frac{1}{\sec \theta} d\theta \\
&= \frac{1}{x_0^2} \int \cos \theta d\theta \\
&= \frac{1}{x_0^2} \sin \theta \end{align}$$ $\tan \theta = y / x_0$ なので，$\sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x_0^2 + y^2}}$ である。
よって，$$ \int \frac{1}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy = \frac{1}{x_0^2} \frac{y}{\sqrt{x_0^2 + y^2}} $$ これを $y = -L$ から $L$ まで定積分する。
$$\begin{align} \int_{-L}^{L} \frac{1}{(x_0^2 + y^2)^{3/2}} dy &= \left[ \frac{1}{x_0^2} \frac{y}{\sqrt{x_0^2 + y^2}} \right]_{-L}^{L} \\
&= \frac{1}{x_0^2} \left( \frac{L}{\sqrt{x_0^2 + L^2}} – \frac{-L}{\sqrt{x_0^2 + (-L)^2}} \right) \\
& = \frac{1}{x_0^2} \frac{2L}{\sqrt{x_0^2 + L^2}}\end{align} $$ $F_x$ に代入する。$$ F_x = \frac{\lambda q_0 x_0}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{x_0^2} \frac{2L}{\sqrt{x_0^2 + L^2}} \right) = \frac{\lambda q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2L}{x_0 \sqrt{x_0^2 + L^2}} $$ $F_y = 0$ なので，求める力 $\boldsymbol{F}$ は，$$ \boldsymbol{F} = \left( \frac{2 \lambda q_0 L}{4 \pi \varepsilon_0 x_0 \sqrt{x_0^2 + L^2}}, 0, 0 \right) $$（向きは $+x$ 方向）
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