複素積分の定義とパラメータの表示方法【例題あり】

ここでは複素積分の定義 \[
\int_{C} f(z)dz =\lim_{|dz_k| \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(z_k) dz_k
\]とそのパラメータ表示 \[
\int_{C}f(z) dz=\int_{\alpha}^{\beta} f(z(t)) \frac{dz}{dt}dt
\] および計算方法について具体例を用いてまとめます。

複素積分の定義

今まで実関数で行ってきた積分を複素関数に拡張することを考えます。拡張するにあたって，まずは定義から確認しましょう。一般に複素積分は複素平面上の線積分で定義されます。

これは，ある複素平面上の経路 $C$ を $dz_1,dz_2,\cdots$ と分割したものについてその要素 $f(z_k)$ を足し合わせたものとして計算していると考えています。

厳密ではありませんが，実数関数の積分が \[
\int f(x)dx =\lim_{dx_k \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) dx_k \; (k=1,2,\cdots)
\] のように計算できることの類推として考えるとこの定義そのものはそこまで違和感はないものに感じますね。

尚，複素積分は次のようにパラメータを導入して定義することも出来ます。\[
\int_{C}f(z) dz=\int_{\alpha}^{\beta} f(z(t)) \frac{dz}{dt}dt
\] ここで $z(t)$ について $\alpha \to \beta$ です。

複素積分の計算

複素積分の積分方法についてまとめます。具体的には $dx,dy$ を動かして考える方法と上記のようにパラメータを導入する方法がありますが，ここでは前者の方法について考えましょう(後者の方法は例題で扱います)。

まず，前者の積分を行うためこの積分を実部と虚部にわけてみます。いま，$f(z)$ の実部を $u(x,y)$，虚部を $v(x,y)$ とすると複素平面上で \[
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
\] と書くことが出来ます。また \[
dz=dx+idy
\] となるので，以上から $(x,y)$ を簡単のため省略して計算すると \[
\begin{align}
f(z) &= (u+iv)(dx+idy) \\
&=(udx-vdy)+i(vdx+udy)
\end{align}
\] となりますので，この積分は \[
\int_{C} f(z) dz =\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C} (vdx+udy)
\] と書けます。とはいえ，この形を見てすぐに理解することは難しいと思われますので，以下のような例題をもとに考えてみましょう。

複素積分の具体的な計算例

考え方

$C_1$ は実軸部分と虚軸部分にわけて積分しましょう。$C_2$ は $t$ をパラメータとして $z=(1+i)t$ とおいて考えます。

【解答】
$f(z)$ を実部と虚部にわけると $f(z)=z=x+yi$ であるので，$C_1$ について，実軸上では $dy=0,y=0$ であることから $C_1$ の実軸部分を $C_{1R}$ として \[
\int_{C_{1R}}zdz=\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}
\] 同様に虚軸上では $x=1,dx=0$ であるので経路を $C_{1I}$ として \[ \int_{C_{1I}} zdz=\int_{0}^{1}(1+iy)dy=i-\frac{1}{2}\] 以上の結果から \[
\int_{C_1}zdz=\int_{C_{1R}}zdz+\int_{C_{1I}}zdz=\color{red}{i}
\] となる。

次に $C_2$ を経路にとったときの積分 $\displaystyle \int_{C_2} zdz$ を考える。このとき，$t$ をパラメータとして $z=(1+i)t$ と出来るので $dz=(1+i)dt$ となる。従ってパラメータを $t:0\to 1$ として考えて \[
\begin{align}
\int_{C_2} zdz &=\int_{0}^{1}(1+i)t(1+i)dt \\
&=(1+i)^2 \int_{0}^{1}tdt \\
&=(1+i)^2 \frac{1}{2}=\color{red}{i}
\end{align}
\] となる。

実軸上，虚軸上の経路以外の他の積分経路の取り方として円周上の経路をうまく取るように計算していく方法がありますが，その方法については別の記事でまとめることとします。

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