極座標の速度や加速度成分・運動方程式の導出方法

2024年9月29日2024年12月14日

この記事では極座標における速度と加速度 \[(v_r,\; v_{\theta})=(\dot{r}, \; \dot{r} \dot{\theta}) \\ (a_r,\; a_{\theta})=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2, \; 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\] および極座標の運動方程式 \[m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_r, \quad m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=F_{\theta}\] の導出方法についてまとめます。

極座標における位置の取り扱い

直交座標 $(x,y)$ と極座標 $(r,\theta)$ の関係を以下にまとめます。位置の関係を知るには上のような図を書いて考えれば良いですね。まず，図から \[\begin{cases}
x=r\cos \theta \\
y=r\sin \theta
\end{cases}\] であることがわかります。

極座標における速度成分の導出

極座標の速度成分を求めるにあたっては，まず先程の関係式を時間で微分してあげると良いでしょう。時間微分をそれぞれ $\dot{x},\dot{y},\dot{r},\dot{\theta}$ とすると合成関数の微分に注意して \[\begin{cases}
\dot{x}=\dot{r} \cos \theta -r\dot{\theta}\sin \theta \\
\dot{y}=\dot{r} \sin \theta +r\dot{\theta}\cos \theta
\end{cases}\] がわかります。

極座標への変換とは詰まるところ「直交成分を動径成分と角度成分に分解する」ということなわけですが，これはストレートに変換しようとすると少々手間がかかります。

そこで，ここでは次の図のように座標軸を $\theta$ だけ回転させたものを考え，成分を比較するという手法を用いて考えます。

このように考えると直交座標 $(x,y)$ から極座標 $(r,\theta)$ への変換は $x$ 軸，$y$ 軸を反時計回りに $\theta$ だけ回転させたものとして扱うことが出来るので，これは回転行列 $\displaystyle R(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}$ を使って，次のように簡潔に表すことが出来ます。\[\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\dot{r} \cos \theta -r\dot{\theta}\sin \theta \\
\dot{r} \sin \theta +r\dot{\theta}\cos \theta
\end{bmatrix}
\\
&=\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\dot{r} \\
\dot{r} \dot{\theta}
\end{bmatrix}
=R(\theta) \begin{bmatrix}
\dot{r} \\
\dot{r} \dot{\theta}
\end{bmatrix}
\end{align}\] これから，極座標における速度成分は

\[(v_r,\; v_{\theta})=(\dot{r}, \; \dot{r} \dot{\theta})\]

で表すことが出来ることがわかります。

参考：極座標の運動エネルギー

質点の質量を $m$ として直交座標の運動エネルギーは $\displaystyle \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$ で与えられるのでこれを計算することにより \[\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)=\frac{1}{2}m \left[ \dot{r}^2+(\dot{r} \dot{\theta})^2 \right]\] という関係が成り立つこともわかります。

極座標における加速度

加速度も求めておきましょう。求めるにあたっては $(\dot{x},\dot{y})$ を更に時間微分します(少し計算は大変です)。まず $x$ 成分は \[\begin{align}
\ddot{x} &= (\dot{r} \cos \theta )’ -(r\dot{\theta}\sin \theta )’ \\
&=\ddot{r}\cos \theta +\dot{r} \dot{\theta}(-\sin \theta)-(\dot{r}\dot{\theta}\sin \theta +r\ddot{\theta}+r\dot{\theta}^2 \cos \theta) \\
&= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\cos \theta -(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta
\end{align}\] $y$ 成分も同様に \[\begin{align}
\ddot{y} &= (\dot{r} \sin \theta )’ +(r\dot{\theta}\cos \theta )’ \\
&=\ddot{r}\sin \theta +\dot{r} \dot{\theta}\cos \theta+\{ \dot{r}\dot{\theta}\cos \theta +r\ddot{\theta}+r\dot{\theta}^2 (-\sin \theta ) \} \\
&= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\sin \theta +(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta
\end{align}\] と計算できます。

あんとら

3つの関数の $f,g,h$ の積 $fgh$ の微分は $(fgh)’=f’gh+fg’h+fgh’$ となることに注意しましょう

これもまた回転行列 $R(\theta)$ を使って表してあげると \[\begin{align}
\begin{bmatrix}
\ddot{x} \\
\ddot{y}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
(\ddot{r}-r\ddot{\theta}^2)\cos \theta -(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta \\
(\ddot{r}-r\ddot{\theta}^2)\sin \theta +(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta
\end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \\
2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}
\end{bmatrix}
\\
&=R(\theta)
\begin{bmatrix}
\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \\
2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}
\end{bmatrix}
\end{align}\] と出来るので，極座標における加速度成分は速度と同じように考えてあげることによって