高校数学で頻出の積分 \[\int e^x \cos x dx, \quad \int e^x \sin x dx\] を計算する方法を４通り紹介します。
方法１ 部分積分を繰り返し用いる
被積分関数は（指数関数）×（三角関数）の形をしているので，基本的な処理として「部分積分を繰り返し用いる」ことで求めることが出来ます。
\[\begin{align} I &= \int e^x \cos x dx = \int (e^x)’ \cos x dx \\ &= e^x \cos x + \int e^x \sin x dx \\ &= e^x \cos x + \left( e^x \sin x -\int e^x \cos x dx\right) \\ &=e^x \cos x + e^x \sin x -I \end{align}\] より\(I\) について解くと \[I=\int e^x \cos x dx=\frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)+C_1\] \(J\) も同様に計算する。\[\begin{align} J &= \int e^x \sin x dx = \int (e^x)’ \sin x dx \\ &= e^x \sin x -\int e^x \cos x dx \\ &= e^x \sin x -\left( e^x \cos x +\int e^x \sin x dx\right) \\ &=e^x \sin x -e^x \cos x -J \end{align}\] より \(J\) について解くと \[J=\int e^x \sin x dx=\frac{1}{2}e^x(\sin x -\cos x)+C_2\]
あんとら教科書にも載っているオーソドックスな方法ですが，少し計算の手間がかかるのが難点です
方法２ 部分積分をして連立方程式をたてる
上記の方法では，部分積分を２回しなくてはならず，途中で積分計算を間違えてしまうことがあります。そこで，次のように部分積分をして出来たものについて連立方程式をたてて解くと，計算量を少し減らすことが出来ます。
\[\begin{align} I &= \int e^x \cos x dx = \int (e^x)’ \cos x dx \\ &= e^x \cos x + \int e^x \sin x dx \\ &= e^x \cos x + J\end{align}\] より \[I-J=e^x \cos x +\text{const} \quad \cdots (1)\] また \[\begin{align} J &=\int e^x \sin x dx = \int (e^x)’ \sin x dx \\ &= e^x \sin x -\int e^x \cos x dx \\ &= e^x \sin x -I \end{align}\] より \[I+J= e^x \sin x +\text{const} \quad \cdots (2)\] \((1),(2)\) より和と差をとって整理すると \[I=\int e^x \cos x dx=\frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)+C_1\] \[ J=\int e^x \sin x dx=\frac{1}{2}e^x(\sin x -\cos x)+C_2\]
方法３ 微分したものから逆算して考える
１つ目と２つ目の方法では部分積分を使って計算しました。ここで，３つ目の方法として微分したものから逆算して考えることで部分積分を使わずにテクニカルに計算することが出来ます。
\(e^x \sin x , \; e^x \cos x\) をそれぞれ微分したものを考える。 \[(e^x \sin x)’=e^x \cos x +e^x \sin x\] \[(e^x \cos x)’=e^x \cos x -e^x \sin x\] ２つの式の和と差を考えて \[(e^x \sin x+e^x \cos x)’=2e^x \cos x\] \[(e^x \sin x-e^x \cos x)’=2e^x \sin x\] 積分して整理すると \[\int e^x \cos x dx=\frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)+C_1\] \[ \int e^x \sin x dx=\frac{1}{2}e^x(\sin x -\cos x)+C_2\]
あんとら高校範囲でも無理のなく，前の２つの方法に比べて計算しやすい方法といえそうです
方法４ オイラーの公式を用いた計算方法
高校範囲は外れますが，４つ目の方法としてオイラーの公式 \[e^{ix}= \cos x + i\sin x\] を使って計算するテクニックを紹介します。
\(I+Ji\) を考える。オイラーの公式 \[e^{ix}= \cos x + i\sin x\] を使うと \[\begin{align} &I+Ji = \int e^x (\cos x + i\sin x )dx \\ &= \int e^{x+ix} dx = \int e^{(1+i)x} dx\\ &= \frac{1}{1+i}e^{(1+i)x} +C\\ &= \frac{1-i}{2} e^x( \cos x + i\sin x)+C \\ &= \frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x) -\frac{i}{2}e^x(\cos x- \sin x)+C\end{align}\] となる。1実部と虚部を比較して \[I=\frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)+C_1\] \[ J=-\frac{1}{2}e^x(\cos x -\sin x)+C_2\]
あんとら高校範囲からは外れますが，部分積分を使わなくていいので手軽な計算ではあります
- 虚数を積分するときは定数という扱いで積分して問題ありません。 ↩︎
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