等温過程における気体による仕事 \[
W=\int pdV
\] の計算方法を $p-V$ グラフから実際に求める方法についてまとめます。
問題
圧力 $p$，体積を $V$ とし，図のような $p-V$ グラフで表される単原子理想気体の系を考える。ここで，B→Cは等温過程である。この系が外部になす仕事をそれぞれ $W_{\mathrm{AB}},W_{\mathrm{BC}},W_{\mathrm{CA}}$ と書くとき，仕事の和 \[
W=W_{\mathrm{AB}}+W_{\mathrm{BC}}+W_{\mathrm{CA}}
\] を求めよ。
解答
考え方
気体が外部に成す仕事 $W$ は \[
W =\int p dV
\] によって計算出来ます。各過程における変数がどのようになるのか注意して計算を進めましょう。また，B→Cの等温過程では単原子分子理想気体である条件から気体の状態方程式 \[
pV=nRT
\] を使い，$V$ に関する積分計算を行います。
【解答】
まず，A→Bの過程について，ここでは体積が変化しない，すなわち $dV=0$であるので \[
W_{\mathrm{AB}}=0
\] 次に，B→Cの過程についてこの過程は等温過程であるので，気体の状態方程式 \[
pV=nRT
\] が成り立つ。これより \[
\begin{align}
W_{\mathrm{BC}} &=\int_{V_0}^{V_1} pdV = \int_{V_0}^{V_1} \frac{nRT}{V} dV \\
& = nRT \left[\ln V \right]_{V_0}^{V_1} \\
&= nRT \ln \frac{V_1}{V_0}
\end{align}\] となる。C→Aについては，気体は逆に仕事をされるので \[
\begin{align} W_{\mathrm{CA}}&=-\int_{V_1}^{V_0}pdV \\
&=-p(V_1-V_0)
\end{align} \] 以上より，仕事の和はこれらをすべて足し合わせて \[
W=nRT \ln \frac{V_1}{V_0} -p(V_1-V_0)
\] となる。
補足
これより，気体のした正味の仕事 $W$ は $p-V$ グラフの囲まれた図形の面積部分を表していることがわかります。
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