【例題あり】電場の定義と点電荷のつくる電場の計算方法

電場の定義と点電荷のつくる電場の計算方法についてまとめました。

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「場」の導入：電場（電界）

なぜ「場」を考えるのか？

クーロンの法則は，「遠隔作用（えんかくさよう）」の考え方に基づいています。つまり，電荷 $q_2$ が，離れた場所にある $q_1$ に（何も介さずに）直接力を及ぼす，という考え方です。

しかし，電磁気学が発展するにつれて，この考え方では説明が難しい現象（特に，力の伝達に時間がかかることや，電磁波）が出てきました。

そこで，「近接作用」という考え方が導入されます。

近接作用の考え方

この「何か」，つまり電荷がその周囲の空間に作る「力を及ぼす性質を持った空間そのもの」を「場」 と呼びます。

静電力（クーロン力）の源となる場を，特に「電場」または「電界」と呼びます。

電場の定義

電場 $\boldsymbol{E}$ は，以下のように定義されます。

少し難しい概念ですが，要点は次のように整理されます。

電場の基本事項

この定義 $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F} / q_0$ を変形すれば，電場 $\boldsymbol{E}$ がわかっている場所に電荷 $q$ を置いたとき，その電荷 $q$ が受ける力 $\boldsymbol{F}$ は，$$ \boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E} $$ と簡単に計算できることがわかります。

点電荷が作る電場

では，位置 $\boldsymbol{r}’$ にある点電荷 $Q$ が，位置 $\boldsymbol{r}$ に作る電場 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$ を求めてみましょう。

電場の定義に従い，位置 $\boldsymbol{r}$ に試験電荷 $q_0$ を置きます。$q_0$ が $Q$ から受ける力 $\boldsymbol{F}$ は，クーロンの法則より，$$ \boldsymbol{F} = \frac{q_0 Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|^3} $$ 電場の定義 $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F} / q_0$ より，$$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{q_0} \left( \frac{q_0 Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|^3} \right) $$ すなわち
$$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|^3} $$ となります。これが点電荷 $Q$ が作る電場の基本式です。

特に，原点 $(0,0,0)$ に $Q$ があり，位置 $\boldsymbol{r}$ での電場を求める場合は，$\boldsymbol{r}’ = \boldsymbol{0}$ となり，$$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|^3} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \frac{\boldsymbol{r}}{r} $$（ここで $r = |\boldsymbol{r}|$）となります。

$\boldsymbol{e}_r = \boldsymbol{r} / r$ は，原点から $\boldsymbol{r}$ へ向かう単位ベクトル（動径方向の単位ベクトル）なので，$$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \boldsymbol{e}_r $$ とも書けますね。

この式から，

であることがわかります。

電場の重ね合わせの原理

クーロン力で重ね合わせの原理が成り立ったのと同様に，電場についても重ね合わせの原理が成り立ちます。

複数の点電荷 $Q_1, Q_2, \dots$ がそれぞれ $\boldsymbol{E}1, \boldsymbol{E}_2, \dots$ という電場をある点 $\boldsymbol{r}$ に作るとき，その点での合成電場 $\boldsymbol{E}$ は， $$ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{E}_1(\boldsymbol{r}) + \boldsymbol{E}_2(\boldsymbol{r}) + \dots = \sum_{i} \boldsymbol{E}_i(\boldsymbol{r}) $$ というベクトル和で与えられます。

例題

【解答】
(1) 原点の $Q = +2.0 \times 10^{-8} \, \mathrm{C}$ （正電荷）から点 $P(1.0, 0, 0)$ までの距離は $r_P = 1.0 \, \mathrm{m}$ である。

$Q > 0$ なので，電場は $Q$ から湧き出す向き，すなわち $P$ 点では $+x$ 方向である。大きさ $E_P$ は，$$\begin{align} E_P &= k_0 \frac{|Q|}{r_P^2} = (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-8}}{(1.0)^2} \\
&= 18 \times 10^1 \\
&=\color{red}{ 180 \, \mathrm{N/C}} \end{align}$$ 向きは $+x$ 方向。

(2) 点 $P$ に電荷 $q = -3.0 \times 10^{-9} \, \mathrm{C}$ を置くと，受ける力 $\boldsymbol{F}$ は $\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}_P$ で計算できる。

$q < 0$（負電荷）なので，力 $\boldsymbol{F}$ の向きは電場 $\boldsymbol{E}_P$ の向き（$+x$ 方向）と逆向き，すなわち $-x$ 方向である。

力の大きさ $F$ は，
$$ \begin{align} F &= |q| E_P = (3.0 \times 10^{-9}) \times (180) \\
& = 540 \times 10^{-9} \\
&= \color{red}{5.4 \times 10^{-7} \, \mathrm{N} }\end{align}$$ 向きは $-x$ 方向。

(3) 原点の $Q$ から点 $R(0, 2.0, 0)$ までの距離は $r_R = 2.0 \, \mathrm{m}$ である。

$Q > 0$ なので，電場は $Q$ から湧き出す向き，すなわち $R$ 点では $+y$ 方向である。

大きさ $E_R$ は，
$$\begin{align} E_R &= k_0 \frac{|Q|}{r_R^2} \\
&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-8}}{(2.0)^2} \\
&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-8}}{4.0} \\
&= 4.5 \times 10^1 \\
&=\color{red}{ 45 \, \mathrm{N/C} }\end{align}$$ 向きは $+y$ 方向。

【解答】
原点 $O$ における電場 $\boldsymbol{E}_O$ は，電荷 $q_A, q_B, q_C$ がそれぞれ原点に作る電場 $\boldsymbol{E}_A, \boldsymbol{E}_B, \boldsymbol{E}_C$ のベクトル和（重ね合わせ）である。
$$ \boldsymbol{E}_O = \boldsymbol{E}_A + \boldsymbol{E}_B + \boldsymbol{E}_C $$
(1) $\boldsymbol{E}_A$ ($q_A = +q$ が $O$ に作る電場) について，$A(0, a)$ から $O(0, 0)$ までの距離は $a$。$q_A > 0$ なので，電場は $A$ から湧き出す向き，すなわち $O$ 点では $-y$ 方向である。

大きさは $$E_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|+q|}{a^2} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$$ よって $$\boldsymbol{E}_A = \left( 0, – \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right)$$

(2) $\boldsymbol{E}_B$ ($q_B = +2q$ が $O$ に作る電場) について $B(-a, 0)$ から $O(0, 0)$ までの距離は $a$。$q_B > 0$ なので，電場は $B$ から湧き出す向き，すなわち $O$ 点では $+x$ 方向である。

大きさは $$E_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|+2q|}{a^2} = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$$ よって $$\boldsymbol{E}_B = \left( \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right)$$

(3) $\boldsymbol{E}_C$ ($q_C = +2q$ が $O$ に作る電場) について $C(a, 0)$ から $O(0, 0)$ までの距離は $a$。$q_C > 0$ なので，電場は $C$ から湧き出す向き，すなわち $O$ 点では $-x$ 方向である。

大きさは $$E_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|+2q|}{a^2} = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$$ よって $$\boldsymbol{E}_C = \left( – \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right)$$

以上より合成電場 $\boldsymbol{E}_O$ を計算すると $$ \begin{align}\boldsymbol{E}_O &= \boldsymbol{E}_A + \boldsymbol{E}_B + \boldsymbol{E}_C \\
& = \left( 0, – \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right) + \left( \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) + \left( – \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}, 0 \right) \end{align}$$
$x$ 成分は $\boldsymbol{E}_B$ と $\boldsymbol{E}_C$ が互いに打ち消し合う。よって $$ \boldsymbol{E}_O = \left( 0, – \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \right) $$ 大きさは $$E_O = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$$ 向きは $-y$ 方向。

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