連続電荷分布が作る電位についてまとめました。
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電位の積分計算
電荷が線・面・体積にわたって連続的に分布している場合，電位 $V$ は，微小な電荷素片 $dq$ が作る微小な電位 $dV$ を積分することで求められます。
位置 $\boldsymbol{r}’$ にある電荷素片 $dq$ が，位置 $\boldsymbol{r}$ に作る微小電位 $dV$ は，$$ dV = \frac{dq}{4 \pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r} -\boldsymbol{r}’|} $$ （$|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|$ は $dq$ から点 $\boldsymbol{r}$ までの距離）これを電荷分布全体で積分します。 $$ V(\boldsymbol{r}) = \int dV = \int \frac{dq}{4 \pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r} -\boldsymbol{r}’|} $$ これはスカラーの積分であり，ベクトルの成分ごとに分解する必要があった電場の計算よりも遥かに簡単に計算することが出来ます。
よく出てくる積分一覧
- 線電荷密度 $\lambda(\boldsymbol{r}’)$ [C/m] の場合： $dq = \lambda(\boldsymbol{r}’) dl’$ $$ V(\boldsymbol{r}) = \int_{\text{line}} \frac{\lambda(\boldsymbol{r}’) dl’}{4 \pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r} -\boldsymbol{r}’|} $$
- 面電荷密度 $\sigma(\boldsymbol{r}’)$ [C/m$^2$] の場合： $dq = \sigma(\boldsymbol{r}’) dS’$ $$ V(\boldsymbol{r}) = \int_{\text{surface}} \frac{\sigma(\boldsymbol{r}’) dS’}{4 \pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r} -\boldsymbol{r}’|} $$
- 体積電荷密度 $\rho(\boldsymbol{r}’)$ [C/m$^3$] の場合： $dq = \rho(\boldsymbol{r}’) dV’$ $$ V(\boldsymbol{r}) = \int_{\text{volume}} \frac{\rho(\boldsymbol{r}’) dV’}{4 \pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r} -\boldsymbol{r}’|} $$
例題
$xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $a$ のリング（円環）に，全電荷 $Q$ ($Q>0$) が一様に分布している。
リングの中心軸である $z$ 軸上の点 $P(0, 0, z)$ における電位 $V(z)$ を求めよ
あんとら電位はスカラーなので，ベクトルの向きを考える必要がありません。
リング上の全ての電荷素片 $dq$ から，$z$ 軸上の点 $P$ までの距離 $r’$ がすべて等しいことを利用します。
【解答】
リングを微小な電荷素片 $dq$ に分割して考える。リング上の任意の $dq$ の位置は $(a \cos\phi, a \sin\phi, 0)$ と書ける。電位を求めたい点 $P$ の位置は $(0, 0, z)$ である。
$dq$ から $P$ までの距離 $r’$ は，$$\begin{align} r’ &= \sqrt{(a \cos\phi – 0)^2 + (a \sin\phi – 0)^2 + (0 – z)^2} \\
& = \sqrt{a^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + z^2} \\
&= \sqrt{a^2 + z^2} \end{align}$$ であり，この距離 $r’$ は，$dq$ がリング上のどこにあっても一定である。
したがって，点 $P$ における電位 $V(z)$ は，各 $dq$ が作る電位 $dV = \frac{dq}{4 \pi \varepsilon_0 r’}$ を単純に積分（総和）すればよい。$$ V(z) = \int dV = \int \frac{dq}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{a^2 + z^2}} $$ $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{a^2 + z^2}}$ は積分（$dq$ の総和）において定数なので，積分の外に出せる。$$ V(z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{a^2 + z^2}} \int dq $$ $\int dq$ は，リング上の全電荷 $Q$ に他ならない。よって $$ V(z) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{a^2 + z^2}} $$ である。
（もし $z \gg a$ ならば，$\sqrt{a^2 + z^2} \approx \sqrt{z^2} = z$ となり，$$V(z) \approx \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 z}$$ となって，点電荷の電位と一致することがわかる。）
$xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $R$ の円盤に，面電荷密度 $\sigma$ ($\sigma > 0$) で電荷が一様に分布している。
円盤の中心軸である $z$ 軸上の点 $P(0, 0, z)$ ($z>0$ とする) における電位 $V(z)$ を求めよ。
あんとら上の問題の円盤パターンです。結局やることはただの面積分です。
【解答】
半径 $r’$，微小な幅 $dr’$ のリングを考える。このリングの面積 $dS’$ は，$$ dS’ = (2 \pi r’) dr’ $$ である（円周 $\times$ 幅）。この微小リングが持つ電荷 $dq$ は，面電荷密度 $\sigma$ より，$$ dq = \sigma dS’ = \sigma (2 \pi r’ dr’) $$ となる。
この電荷 $dq$ を持つリング（半径 $r’$）が，点 $P(0, 0, z)$ に作る微小電位 $dV$ は，例題1の結果（$Q \to dq, a \to r’$）より，$$\begin{align} dV &= \frac{dq}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{r’^2 + z^2}} = \frac{\sigma (2 \pi r’ dr’)}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{r’^2 + z^2}} \\
&= \frac{\sigma r’ dr’}{2 \varepsilon_0 \sqrt{r’^2 + z^2}} \end{align}$$ 円盤全体の電位 $V(z)$ は，この $dV$ を $r’ = 0$ から $r’ = R$ まで積分すればよい。$$\begin{align} V(z) &= \int dV = \int_0^R \frac{\sigma r’ dr’}{2 \varepsilon_0 \sqrt{r’^2 + z^2}} \\
&= \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \int_0^R \frac{r’}{\sqrt{r’^2 + z^2}} dr’ \end{align}$$ 積分を計算する。$u = r’^2 + z^2$ と置換すると，$du = 2r’ dr’$，すなわち $r’ dr’ = du / 2$ である。また，積分範囲は $r’=0 \to u=z^2$，$r’=R \to u=R^2+z^2$ となる。
$$\begin{align} \int_{z^2}^{R^2+z^2} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2} &= \frac{1}{2} \int_{z^2}^{R^2+z^2} u^{-1/2} du \\
& = \frac{1}{2} \left[ 2 u^{1/2} \right]_{z^2}^{R^2+z^2} = \left[ \sqrt{u} \right]_{z^2}^{R^2+z^2} \\
& = \sqrt{R^2 + z^2} – \sqrt{z^2} \end{align}$$ $z>0$ としているので $\sqrt{z^2} = z$ である。以上より $$ V(z) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( \sqrt{R^2 + z^2} – z \right) $$
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