【例題あり】点電荷の作る電位と重ね合わせの原理

点電荷の作る電位と重ね合わせの原理についてまとめました。

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点電荷の作る電位

原点にある点電荷 $Q$ が作る電位 $V(r)$ を計算してみましょう。

電場 $\boldsymbol{E}$ は $$\boldsymbol{E} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r$$ です。 これを $$V(r) = – \int_{\infty}^r \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l}$$ の式に代入します。

積分経路 $\boldsymbol{l}$ としては，無限遠から $r$ まで動径方向にまっすぐ進む経路 $\boldsymbol{e}_r$ を選ぶのが最も簡単です（静電力は保存力なので経路によりません）。

このとき $d\boldsymbol{l} = dr’ \, \boldsymbol{e}_r$ と書けます。 $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r’^2} \boldsymbol{e}_r \right) \cdot (dr’ \, \boldsymbol{e}_r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r’^2} dr’ $$ よって $$\begin{align} V(r) &= -\int_{\infty}^r \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r’^2} dr’ \\
&= -\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\infty}^r \frac{1}{r’^2} dr’ \\
& = -\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{r’} \right]_{\infty}^r \\
& = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} -\frac{1}{\infty} \right) \end{align}$$ 以上より $$ V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r} $$ となり，点電荷 $Q$ が作る電位は，$1/r$ に比例するスカラー量となります。

電位の重ね合わせの原理

電位 $V$ はスカラー量です。

したがって，複数の点電荷 $Q_1, Q_2, \dots$ がある場合，それらが作る合成電位 $V$ は，各電荷が作る電位 $V_1, V_2, \dots$ の単なる代数和（スカラー和）で求まります。$$\begin{align} V(\boldsymbol{r}) &= V_1(\boldsymbol{r}) + V_2(\boldsymbol{r}) + \dots = \sum_{i} V_i(\boldsymbol{r}) \\
& = \sum_{i} \frac{Q_i}{4 \pi \varepsilon_0 r_i} \end{align}$$ ここで $r_i$ は $Q_i$ から点 $\boldsymbol{r}$ までの距離です。

これは電位と重ね合わせの原理になりますが，ベクトル和である電場 $\boldsymbol{E}$ の重ね合わせ $\boldsymbol{E} = \sum \boldsymbol{E}_i$ よりも，はるかに計算が簡単なことがわかります。

例題

【解答】
(1) 点 $P(x, 0)$ における電位 $V_P$ は $A(0, d/2)$ にある $+q$ が $P$ に作る電位 $V_A$ と，$B(0, -d/2)$ にある $-q$ が $P$ に作る電位 $V_B$ の和である。

$A$ から $P$ までの距離を $$r_{AP} = \sqrt{x^2 + \left( \frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{d^2}{4} }$$ $B$ から $P$ までの距離 $$r_{BP} = \sqrt{x^2 + \left( -\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{d^2}{4}}$$ とする。このとき $$ V_A = \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{AP}} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{x^2 + d^2/4}} $$ $$ V_B = \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{BP}} = \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{x^2 + d^2/4}} $$ 重ね合わせの原理（スカラー和）より，$$ V_P = V_A + V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{x^2 + d^2/4}} + \left( \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{x^2 + d^2/4}} \right) = \color{red}{0} $$ である。（$x$ 軸上は電位が $0$ となる。）

(2) 点 $R(0, y)$ ($y > d/2$) における電位 $V_R$ について，$A$ から $R$ までの距離 $r_{AR} = y – d/2$
$B$ から $R$ までの距離 $r_{BR} = y – (-d/2) = y + d/2$ とすると $$ V_A = \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{AR}} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 (y – d/2)} $$ $$ V_B = \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{BR}} = \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_0 (y + d/2)} $$ 重ね合わせの原理（スカラー和）より，
$$\begin{align} V_R &= V_A + V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{y – d/2} – \frac{1}{y + d/2} \right) \\
& = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(y + d/2) – (y – d/2)}{(y – d/2)(y + d/2)} \\
& = \color{red}{\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{d}{y^2 – d^2/4} }\end{align}$$ である。

【解答】
(1) 点 $P(0, 0, z)$ ($z > a$) における電位 $V(z)$ について，

$q_1 = +q$ ($z=a$) が $P$ に作る電位 $V_1$：距離 $r_1 = z – a$ より $$ V_1 = \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_0 (z – a)} $$
$q_2 = +q$ ($z=-a$) が $P$ に作る電位 $V_2$：距離 $r_2 = z – (-a) = z + a$ より $$ V_2 = \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_0 (z + a)} $$
$q_3 = -2q$ ($z=0$) が $P$ に作る電位 $V_3$：距離 $r_3 = z – 0 = z$ より $$ V_3 = \frac{-2q}{4 \pi \varepsilon_0 z} $$
重ね合わせの原理より，$$ V(z) = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{z-a} + \frac{1}{z+a} – \frac{2}{z} \right) $$ 通分して整理すると
$$\begin{align} V(z) &= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{z(z+a) + z(z-a) – 2(z-a)(z+a)}{z(z-a)(z+a)} \right) \\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(z^2+za) + (z^2-za) – 2(z^2-a^2)}{z(z^2-a^2)} \right) \\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2z^2 – 2z^2 + 2a^2}{z(z^2-a^2)} \right) \\
&=\color{red}{ \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z(z^2-a^2)} }\end{align}$$ である。

(2) $z \gg a$ のときの近似について (1) の厳密解から近似する。 $$ V(z) = \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z(z^2-a^2)} = \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z^3 (1 – a^2/z^2)} $$ ここで $x = -a^2/z^2$ とおき，$(1+x)^{-1} \approx 1 – x + \dots$ （$|x| \ll 1$）の近似を使うと $$\begin{align} V(z)& \approx \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z^3} (1 – (-a^2/z^2)) = \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z^3} (1 + a^2/z^2) \\
&\approx \frac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z^3} + O(1/z^5) \end{align}$$ よって， $z \gg a$ のとき，$V(z)$ は $\dfrac{2q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 z^3}$ となり，$1/z^3$ に比例することが示された。

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