【例題あり】対称性を用いたガウスの法則と電場の計算

ガウスの法則に対称性を用いて，様々な系（球対称，無限に長い直線，平面電荷）の計算方法をまとめました。

前回の記事はこちらから

あわせて読みたい

【例題あり】ガウスの法則の基本事項と導出 ガウスの法則の基本事項と導出方法についてまとめました。

ガウスの法則の復習

ガウスの法則は，任意の閉曲面 $S$ を貫く全電束（外向きを正）と，その閉曲面の内部に含まれる全電荷 $Q_{\text{in}}$ との関係を示す式でした。$$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} $$ この法則は，「閉曲面から湧き出す電束の総量は，内部の電荷量だけで決まる」ことを意味します。

今回は，このガウスの法則をさらに活用し，対称性の高い電荷分布（無限直線，無限平面，球）が作る電場を簡単に計算する方法をまとめます。

ガウスの法則を用いた電場の計算手順

クーロンの法則 $\boldsymbol{E} = \int d\boldsymbol{E}$ で電場を計算するのは，多くの場合，複雑なベクトル積分が必要となり困難です。

しかし，電荷分布に「対称性」がある場合，ガウスの法則を使うと比較的簡単に電場が求めることが出来ます。

計算手順

対称性による電場の計算例

例1：球対称

半径 $R$ の薄い球殻の表面に，全電荷 $Q$ ($Q > 0$) が一様に分布している場合を考えます。

原点からの距離 $r$ の点における電場の大きさ $E(r)$ を求めます。

まず，電荷分布は球対称です。対称性から，電場 $\boldsymbol{E}$ は必ず動径方向（原点から外向き）を向き，その大きさ $E$ は原点からの距離 $r$ のみに依存します。（$\boldsymbol{E} = E(r) \boldsymbol{e}_r$）

原点を中心とする半径 $r$ の球面 $S$ を閉曲面に選びます。この面上では常に $\boldsymbol{E} \parallel d\boldsymbol{S}$ であり，かつ $E(r)$ は一定値です。

球殻の外部の場合 (r > R)

左辺について $$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_S E(r) dS = E(r) \oint_S dS = E(r) \times (4 \pi r^2) $$ 右辺について閉曲面 $S$（半径 $r$）は，電荷が分布する球殻（半径 $R$）を完全に囲んでいます。よって，内部の電荷は $$Q_{\text{in}} = Q$$ です。これより $$ E(r) \cdot (4 \pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \implies \quad E(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \quad (r > R) $$ これは，全電荷 $Q$ が原点の点電荷であった場合と同じ電場です。

球殻の内部の場合 (r < R)

閉曲面は半径 $r$ ($r < R$) の球面です。左辺の計算は上と全く同じです。$$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = E(r) \times (4 \pi r^2) $$ 閉曲面 $S$（半径 $r$）の内側には，電荷は一切存在しません（電荷は $r=R$ の表面にあるため）。

よって，$Q_{\text{in}} = 0$ です。これより $$ E(r) \cdot (4 \pi r^2) = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0 \quad \implies \quad E(r) = 0 \quad (r < R) $$ となり，球殻の内部では，電場は $0$ となります。

例2：円筒対象（無限に長い直線電荷）

無限に長い直線に，線電荷密度 $\lambda$ ($\lambda > 0$) で電荷が一様に分布している場合を考えます。

直線からの距離 $r$ の点における電場の大きさ $E(r)$ を求めます。電荷分布は円筒対称（軸対称）です。

対称性から，電場 $\boldsymbol{E}$ は必ず直線に垂直な方向（動径方向）を向き，その大きさ $E$ は直線からの距離 $r$ のみに依存します。

電荷の直線を中心軸とする，半径 $r$，高さ $h$ の閉じた円柱 $S$ をガウス面に選びます。この円柱面は，上面 $S_1$，底面 $S_2$，側面 $S_3$ の3つに分けられます。

$S_1, S_2$（上面・底面）について $\boldsymbol{E}$ は面に平行（$\boldsymbol{E} \perp d\boldsymbol{S}$）。

$S_3$（側面）について $\boldsymbol{E}$ は面に垂直（$\boldsymbol{E} \parallel d\boldsymbol{S}$）かつ $E(r)$ は一定値。

以上より電束は $$\begin{align} \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} &= \int_{S_1} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} + \int_{S_2} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} + \int_{S_3} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} \\
&= \int_{S_1} 0 \, dS + \int_{S_2} 0 \, dS + \int_{S_3} E(r) dS \\
&= 0 + 0 + E(r) \oint_{S_3} dS \\
&= E(r) \times (2 \pi r h) \end{align}$$ （$2 \pi r h$ は半径 $r$，高さ $h$ の円柱の側面積）となります。

内部の電荷（右辺）について，曲面（高さ $h$）の内部に含まれる直線の長さは $h$ です。

線電荷密度は $\lambda$ なので，内部の全電荷 $Q_{\text{in}}$ は，$$ Q_{\text{in}} = \lambda \times h $$ となります。これより$$ E(r) \cdot (2 \pi r h) = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} $$ 両辺の $h$ が消えて $$ E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} $$ となり，電場の大きさは $1/r$ に比例します。（点電荷は $1/r^2$ でした）

例3：平面対称（無限に広い平面電荷）

無限に広い平面に，面電荷密度 $\sigma$ ($\sigma > 0$) で電荷が一様に分布している場合を考えます。このとき，平面からの距離 $z$ の点における電場 $E(z)$ を求めます。

電荷分布は平面対称です。対称性から，電場 $\boldsymbol{E}$ は必ず平面に垂直な方向（$z$ 方向）を向き，その大きさ $E$ は平面からの距離 $z$ のみに依存します。（$\boldsymbol{E} = E(z) \boldsymbol{e}_z$）

電荷平面を貫通する，断面積 $A$ の円柱（または角柱）をガウス面に選びます。
上面 $S_1$ ($+z$)，底面 $S_2$ ($-z$)，側面 $S_3$ の3つに分けます。

$S_1, S_2$（上面・底面）について， $\boldsymbol{E}$ は面に垂直（$\boldsymbol{E} \parallel d\boldsymbol{S}$）かつ $E(z)$ は一定値。

$S_3$（側面）について，$\boldsymbol{E}$ は面に平行（$\boldsymbol{E} \perp d\boldsymbol{S}$）。

以上より，電束は $$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_{S_1} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} + \int_{S_2} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} + \int_{S_3} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} $$ ここで，上面 $S_1$ では $E(z)$ は $+z$ 向き，$d\boldsymbol{S}$ も $+z$ 向きであるので $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = E(z) dS$$ 底面 $S_2$ では $E(z)$ は $-z$ 向き，$d\boldsymbol{S}$ は $-z$ 向きであるので $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = E(z) dS$$ 側面 $S_3$ では $\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = 0$ 以上より $$ \Phi_E = \int_{S_1} E(z) dS + \int_{S_2} E(z) dS + 0 = E(z) A + E(z) A = 2 E(z) A $$ 閉曲面は電荷平面を面積 $A$ だけ貫いています。面電荷密度は $\sigma$ なので，内部の全電荷 $Q_{\text{in}}$ は，
$$ Q_{\text{in}} = \sigma \times A $$ よって $$ 2 E(z) A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} $$ となり $$ E(z) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} $$ これから，電場の大きさ $E$ は距離 $z$ に依存しない，一様な電場となることがわかります。

例題

【解答】
(1) 導体内部の電荷は自由に動くことができる。もし内部に電荷が存在すると，その電荷が作る電場によって他の電荷が力を受け，電荷が移動してしまう（これは静電状態ではない）。

静電状態では，導体内部の電場は $0$ でなければならない。ガウスの法則 $$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = Q_{\text{in}} / \varepsilon_0$$ を考えると，導体内部の任意の閉曲面で $\boldsymbol{E}=0$ ならば $\Phi_E = 0$ であり，したがって $Q_{\text{in}} = 0$ でなければならない。よって，導体に与えられた電荷 $\lambda$ は，全て導体の表面（半径 $a$ の円筒側面）にのみ分布する。

(2) 円柱の外部 ($r > a$)：例2（無限直線）と全く同じ計算になる。ガウス面として，半径 $r$ ($r>a$)，高さ $h$ の円柱を考える。

左辺（電束）： $$\Phi_E = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = E(r) \times (2 \pi r h)$$ 右辺（内部の電荷）： 閉曲面は導体円柱全体を（高さ $h$ の分だけ）囲んでいる。内部の電荷は $Q_{\text{in}} = \lambda h$。

ガウスの法則：$$ E(r) \cdot (2 \pi r h) = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} $$ よって $$ E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} \quad (r > a) $$ である。

(3) 円柱の内部 ($r < a$)：閉曲面として，半径 $r$ ($r<a$)，高さ $h$ の円柱を考える。

左辺（電束）： $$\Phi_E = E(r) \times (2 \pi r h)$$ 右辺（内部の電荷）： (1)で述べたように，電荷は全て $r=a$ の表面に存在するため，半径 $r < a$ のガウス面の内部には電荷は存在しない。よって $Q_{\text{in}} = 0$。

ガウスの法則：$$ E(r) \cdot (2 \pi r h) = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0 $$ よって $$E(r) = 0 \quad (r < a) $$ である。（これは導体内部の電場が $0$ であるという性質と一致する。）

【解答】
無限に広い平面が1枚あるとき，それが作る電場の大きさは距離によらず $E = \frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_0}$ で一定である。

向きは，$\sigma > 0$ なら平面から湧き出す向き，$\sigma < 0$ なら平面に吸い込まれる向きである。

$z = d/2$ にある $+\sigma$ の平面が作る電場を $\boldsymbol{E}+$ とする。 $\boldsymbol{E}_+$ は，$z > d/2$ では $+z$ 向き， $z < d/2$ では $-z$ 向き。大きさは $\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$。 $$ \boldsymbol{E}_+ = \begin{cases} \displaystyle+ \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} & (z > d/2) \\ \displaystyle – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} & (z < d/2) \end{cases} $$ $z = -d/2$ にある $-\sigma$ の平面が作る電場を $\boldsymbol{E}-$ とする。 $\boldsymbol{E}_-$ は，常に平面（$z = -d/2$）に向かう向き。大きさは $\frac{|-\sigma|}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$。
$$ \boldsymbol{E}_- = \begin{cases} \displaystyle – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} & (z > -d/2) \\\displaystyle + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} & (z < -d/2) \end{cases} $$ 合成電場 $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_+ + \boldsymbol{E}_-$ を，3つの領域で計算する。

(1) 領域 ($z > d/2$)：この領域では $z > d/2$ かつ $z > -d/2$ である。
$$ \boldsymbol{E}_{\text{out}} = \boldsymbol{E}_+ + \boldsymbol{E}_- = \left( + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) + \left( – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) = \color{red}{\boldsymbol{0} }$$
である。

(2) 領域 ($z < -d/2$)：この領域では $z < d/2$ かつ $z < -d/2$ である。
$$ \boldsymbol{E}_{\text{out}’} = \boldsymbol{E}_+ + \boldsymbol{E}_- = \left( – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) + \left( + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) = \color{red}{\boldsymbol{0} } $$
である。

(3) 領域 ($-d/2 < z < d/2$)： この領域では $z < d/2$ かつ $z > -d/2$ である。
$$ \boldsymbol{E}_{\text{in}} = \boldsymbol{E}_+ + \boldsymbol{E}_- = \left( – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) + \left( – \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \boldsymbol{k} \right) = \color{red}{-\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \boldsymbol{k} }$$
である。（電場は $-z$ 向き（正電荷から負電荷へ向かう向き）で，大きさは $\sigma / \varepsilon_0$ の一様な電場となる。）

あわせて読みたい

【例題あり】電位の定義と電場の関係 電位の定義と電場の関係についてまとめました。