ガウスの法則の基本事項と導出方法についてまとめました。
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ガウスの法則
閉曲面を貫く電束
閉曲面を貫く電束を考えてみましょう。
閉曲面とは，風船の表面や箱の表面のように，内部と外部を完全に分離する閉じた面のことです。
閉曲面 $S$ を貫く電束を考える場合，法線ベクトル $d\boldsymbol{S}$ の向きは，必ず「曲面の内部から外部へ向かう向き」を正と定めます。
閉曲面 $S$ 上の面積積分は，$\int_S$ の代わりに $\oint_S$ という記号を使って，$$ \Phi_E = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} $$ と書きます。
ガウスの法則とは，この閉曲面を貫く電束 $\Phi_E$ と，その閉曲面 $S$ の「内部」に含まれる全電荷 $Q_{\text{in}}$ との間に成り立つ，かなり単純な（それでいて強力な）関係式です。
閉曲面を貫く電束 $\Phi_E$ と，その閉曲面 $S$ の「内部」に含まれる全電荷 $Q_{\text{in}}$ について $$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} $$ が成り立つ。これをガウスの法則という。
あんとらこの法則が意味することは，「任意の閉曲面を貫いて出ていく電束（電気力線の正味の本数）は，その閉曲面の形状や大きさには一切よらず，内部にある電荷の総量 $Q_{\text{in}}$ だけで決まる」ということです。
ガウスの法則の導出（点電荷の場合）
この法則が本当に成り立つのか，原点にある一つの点電荷 $Q$ と，それを囲む半径 $r$ の球面 $S$ で確かめてみましょう。
閉曲面 $S$ の内部にある電荷は $Q_{\text{in}} = Q$ です。
球面上の任意の点において，電場 $\boldsymbol{E}$ は $Q$ からの距離 $r$ で決まり，動径方向 $\boldsymbol{e}_r$ を向きます。
球面の面積素片 $d\boldsymbol{S}$ も，定義（内部から外部）より，動径方向 $\boldsymbol{e}_r$ を向きます。つまり $$ d\boldsymbol{S} = dS \, \boldsymbol{e}_r $$ したがって，$\boldsymbol{E}$ と $d\boldsymbol{S}$ は常に平行です。$$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r \right) \cdot (dS \, \boldsymbol{e}_r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} dS $$ これを閉曲面 $S$（球面）全体で積分します。
$$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_S \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} dS $$ $Q, \varepsilon_0, r$ は球面上で一定なので，積分の外に出せます。$$\oint_S \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} dS = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \oint_S dS $$ $\oint_S dS$ とは，球面 $S$ の総面積のことです。半径 $r$ の球の表面積は $4 \pi r^2$ ですから，
$$ \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \times (4 \pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$ これは $Q_{\text{in}} / \varepsilon_0$ に等しく，ガウスの法則が成り立っていることが確認できました。
重要なのは，結果から $r$ が消えたことです。つまり，囲む球面の半径によらず，電束は一定（$Q/\varepsilon_0$）であることがわかります。
あんとら実際は球でなくても，どんな形の閉曲面でもこの結果は成り立ちます
例題
一様な電場 $\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{k}$ ($E_0 > 0$, $\boldsymbol{k}$ は $z$ 軸の単位ベクトル) が存在する空間を考える。$xy$ 平面上の円（$x^2+y^2 \le R^2, z=0$）を底面 $S_1$，$z=H$ 平面上の円（$x^2+y^2 \le R^2, z=H$）を上面 $S_2$，側部（$x^2+y^2=R^2, 0 \le z \le H$）を $S_3$ とする，高さ $H$，半径 $R$ の閉じた円柱 $S$ を考える。
(1) 底面 $S_1$ を貫く電束 $\Phi_1 = \int_{S_1} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を求めよ。
(2) 上面 $S_2$ を貫く電束 $\Phi_2 = \int_{S_2} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を求めよ。
(3) 側面 $S_3$ を貫く電束 $\Phi_3 = \int_{S_3} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を求めよ。
(4) この円柱全体 $S$ を貫く全電束 $\Phi_{\text{total}} = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を求めよ。また，この結果とガウスの法則との関係を考察せよ。
あんとら円柱という閉曲面を3つの面（底面，上面，側面）に分け，それぞれの面を貫く電束を計算します。
各面の面積ベクトル $d\boldsymbol{S}$ の向き（常に閉曲面の外向き）に注意することが重要です。
【解答】
(1) 底面 $S_1$ ($z=0$)：面積ベクトル $d\boldsymbol{S}_1$ は閉曲面の外向き，すなわち $-z$ 方向を向く。$d\boldsymbol{S}_1 = dS \, (-\boldsymbol{k})$。 電場は $\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{k}$。 $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}_1 = (E_0 \boldsymbol{k}) \cdot (dS \, (-\boldsymbol{k})) = -E_0 dS $$ 電場は一様なので，積分は $\int dS = (\text{底面積}) = \pi R^2$ となる。よって $$ \Phi_1 = \int{S_1} (-E_0 dS) = -E_0 \int_{S_1} dS =\color{red}{ -E_0 (\pi R^2) }$$
(2) 上面 $S_2$ ($z=H$)：面積ベクトル $d\boldsymbol{S}_2$ は外向き，すなわち $+z$ 方向を向く。$d\boldsymbol{S}_2 = dS \, (+\boldsymbol{k})$。 電場は $\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{k}$。 $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}_2 = (E_0 \boldsymbol{k}) \cdot (dS \, (+\boldsymbol{k})) = +E_0 dS $$ 電場は一様なので，積分は $\int dS = (\text{上面積}) = \pi R^2$ となる。 よって $$ \Phi_2 = \int{S_2} (E_0 dS) = E_0 \int_{S_2} dS =\color{red}{ +E_0 (\pi R^2) }$$
(3) 側面 $S_3$：側面 $S_3$ の任意の点において，面積ベクトル $d\boldsymbol{S}_3$ は外向き，すなわち動径方向（$x, y$ 成分のみ持ち，$z$ 成分は 0）を向く。 電場は $\boldsymbol{E} = E_0 \boldsymbol{k}$（$+z$ 方向）である。 $d\boldsymbol{S}_3$ と $\boldsymbol{E}$ は常に直交する。 $$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}_3 = 0 $$ よって， $$ \Phi_3 = \int{S_3} 0 \, dS = \color{red}{0} $$
(4) 円柱全体 $S$ を貫く全電束 $\Phi_{\text{total}}$ は，(1)～(3) の和である。$$ \Phi_{\text{total}} = \Phi_1 + \Phi_2 + \Phi_3 = (-E_0 \pi R^2) + (E_0 \pi R^2) + 0 = 0 $$ ガウスの法則 $\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = Q_{\text{in}} / \varepsilon_0$ と比較する。
今回，電場は一様であり，この電場を作る電荷源（例えば無限に広い平面電荷など）はこの円柱の「外部」にあると考えられる。円柱の「内部」には電荷は存在しない。
よって $Q_{\text{in}} = 0$ である。したがって，ガウスの法則によれば $\Phi_{\text{total}} = 0 / \varepsilon_0 = 0$ となるべきであり，(4) での直接計算の結果 $0$ と一致する。
原点に点電荷 $Q$ が置かれている。
(1) この $Q$ を中心とする半径 $r$ の球面 $S$ を貫く全電束 $\Phi_S$ をガウスの法則から求めよ。
(2) (1) の結果と対称性を利用して，球面 $S$ 上の任意の点における電場の大きさ $E(r)$ を求めよ。これは，ガウスの法則からクーロンの法則の $1/r^2$ の形を導出するプロセスである。
あんとら(1) ガウスの法則 $\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = Q_{\text{in}} / \varepsilon_0$ を適用します。
(2) 球対称性から，電場 $\boldsymbol{E}$ は球面上で大きさが一定であり，向きは常に法線方向（動径方向）であることを利用して $\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を $E \times $ (球の表面積)という形に変形します。
【解答】
(1) 閉曲面 $S$ は半径 $r$ の球面である。この $S$ の内部にある電荷 $Q_{\text{in}}$ は，原点に置かれた $Q$ のみである。
よって $Q_{\text{in}} = Q$。
ガウスの法則より，球面 $S$ を貫く全電束 $\Phi_S$ は，$$ \Phi_S = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} = \color{red}{\frac{Q}{\varepsilon_0}} $$ である。
(2) 電荷分布は原点の点電荷 $Q$ のみであり，これは球対称である。この対称性から，電荷が作る電場 $\boldsymbol{E}$ も球対称でなければならない。すなわち，
(i) 電場 $\boldsymbol{E}$ の向きは，常に動径方向 $\boldsymbol{e}_r$ を向く。（$\boldsymbol{E} = E(r) \boldsymbol{e}_r$）
(ii) 電場 $\boldsymbol{E}$ の大きさ $E(r)$ は，原点からの距離 $r$ のみに依存し，球面 $S$ 上では一定である。
この $\boldsymbol{E}$ を用いて，全電束 $\Phi_S = \oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$ を直接計算する。球面 $S$ の面積素片 $d\boldsymbol{S}$ は，定義より外向き（動径方向 $\boldsymbol{e}_r$）を向く。$$d\boldsymbol{S} = dS \, \boldsymbol{e}_r$$ よって，$$ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = (E(r) \boldsymbol{e}_r) \cdot (dS \, \boldsymbol{e}_r) = E(r) dS $$ これを球面全体で積分する。$$ \Phi_S = \oint_S E(r) dS $$ (ii) より，$E(r)$ は球面 $S$ 上（$r$ が一定）で一定値なので，積分の外に出せる。$$ \Phi_S = E(r) \oint_S dS $$ $\oint_S dS$ は，半径 $r$ の球の表面積 $4 \pi r^2$ である。 $$ \Phi_S = E(r) \times (4 \pi r^2) $$ (1) の結果 $\Phi_S = Q / \varepsilon_0$ と合わせると，$$ E(r) \times (4 \pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$ これを $E(r)$ について解くと，$$ E(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$ となり，クーロンの法則から導いた点電荷の電場の大きさと一致する。
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